[脳細胞を働かせてちょう題 11]ビューを見つける力

ビューを見つける力

次の方程式を解きなさい。
(x+3)(x+4)=132

誰でも解ける問題とはいえ・・・

「なーんだ、一番簡単な二次方程式じゃないか!」

x2+7x+12=132
x2+7x-120=0

(x-8)(x+15)=0

よって、x=8,-15

一丁上がり~。




もちろん、これでいいんですが、以下のような感覚を身に着けているライバルとであれば、例えば穴埋め問題であったとして、1分以上のタイムロスで損をすることになるでしょうね。

ところが、私ならば見た瞬間、次のような見方をしますよ。

もちろん、上のように解くことはできることはできることは「なーんだ、一番簡単な二次方程式じゃないか!」という段階で分かっているわけですが、それだけに「めんどくせーなぁ!もっと簡単にできる方法があるんじゃねぇの?」と思っちゃいます。

それで、式を眺め直しちゃうわけですが、すると「左辺の(x+3)(x+4)ってxが整数だとすれば、連続する整数になるじゃん。」というところに目が行ってしまうんですね。

おまけに、右辺も132という整数ですしね。

そして、「右辺の132ってどうだろう?ひょっとして連続する整数の掛け算だったりして…」と考えて、11×12になるじゃん!なんてことに気が付いてしまうわけです。

ということは、x+3が11でx+4が12であれば成り立つじゃん。

x=8だわ。

おっと、132は(-12)×(-11)でもあることを忘れちゃいけないぜ。

ということは、x+3が-12でx+4が-11であっても成り立つじゃん。

x=-15も答えだわ。

二次方程式の答えは2つ以上はないから、これで十分だ!

いつでも、特長や相違点・類似点・法則性を抽出してやる意識を!

もちろん、最初の解き方でいいんですけれども、

問題を見て、その問題に複数の数字が出て来るのであれば、

その数字の間の関係に注目してみるビューも意識しておくと発想力が拡がる!!

この問題では、もしxが整数だとすると、
(x+3)(x+4)は連続した整数の掛け算である
というビューで眺めることになるわけさ。

少し言い方を変えると、
単なる数式の掛け算なのだけれど、3,4という数字を見て、
連続する整数の掛け算だと分節することなんだね。

単なる数式や数字から特長や相違点や類似点、法則性を抽出してやるということ。

もちろん、整数とは限らないということも頭に置いておかねばならないけれどね。

2つの数を掛けて整数になるならば、その2つの数は整数だなんて思っている諸君は、まさか居ないだろうね?

さて、そんな分節が出来たとして、「それがどうしたの?」と思うかもしれないね。

この問題では、同時に132という整数が11×12であるということを見破らなければならないように見える。

その通りと言えばその通りなんだけれど、実は、算数のセンスのある人は、

  • 整数を見たらそれを掛け算の形にすればどうかな?という見方を常にしている
  • 問題の文脈を見て必要を感じたら素因数まで分解してみる

こういったクセが必ず付いているものなんだよ。

だから、132を見ればすぐに掛け算の形にすれば何か見えるかもと試してみる!

もっと言えば、こういったクセのついている人は、実際に使うかどうかは別として、

121を見れば11の2乗
132を見れば11×12
143を見れば11×13
144を見れば12の2乗
169を見れば13の2乗
196を見れば14の2乗
225を見れば15の2乗
・・・

などと即座に変換しているってわけね。

別に暗記しているわけではないけれど、見ただけで感覚的に反応しちゃうんですね。

それが、数学が出来ないこと出来る子の根本的な差です。

算数や数学の苦手な人は、これができていませんが、決して生まれつき持っているか持っていないかだけの差ではありません。

大きくは指導者の教え方やレベルによって差が付くのかもしれませんが、1問1問を意味を大切にする気持ちで参考書を真剣に読み取っていけば、多くはカバーできるものです。

指導者から教わったのはそれだけですか?

君が、本当に良い指導者から教わったとすれば、こういったことの他に、

たとえば、「では、ついでに(x+5)(x+7)=224を解いてみようか」なんてことを問われると思うよ。

そのように問うことによって、

  • 連続する整数だけではなくて、一つ飛びの整数だって利用できるよってことの感覚まで拡張したいと思うから。
  • それと同時に、224を見れば225を連想することぐらいまでは教えておけば、必ず役に立つから。
  • だって15の2乗が225ってことが反射的に出てくるようにぐらいは鍛えておきたいもの。
  • そうすると、15の前後の14と16が、自然に出てくる。そして、それ自体が、答えそのものになってしまうんだから。

この問題を冒頭の解答だけ説明して終わっているような指導者や参考書からは違った見方をするという経験を学べませんが、優れた参考書であれば、いくつかのビューを曲がりなりにも解説している(文章ですから限界がありますが)参考書もありますよ。

親子でめざせ!算数オリンピック

169なら169のまま「大きい数字で嫌だなぁ」と眺めているだけ。

13の倍数であることさえ思い浮かばないというわけですね。

少なくとも1~20までの整数の2乗の値ぐらいは見ただけで、この整数の2乗ではないだろうか?

あるいは、200までの整数を見ればこの数字の倍数ではないだろうか?

などと即時に反応できるように慣れておくことは、数学センスの最も原初的であり、且つ、決定づけるほど重要な訓練ですよ。

誤解のないように言っておきますが、「この整数の2乗だ」って断定出来るほど暗記しなくてもいいのですよ。

256を見たら16の2乗だったかな?と思い起こす程度で充分です。

断定は、実際に16で割ればすぐに分かりますからね。


さて、そうすると、この問題では連続する整数の掛け算が見える。

左辺をちらっと見て、見事にタイアップしていることに興奮を覚えることになる。

この時点で採用すればいいわけですよ。

問題が(x+3)(x+4)=12×11 で与えられていれば、この手間が省けて、見た途端にタイアップを見破ってほくそ笑むことになりますが、誰も、見ただけで見破られるような問題は出しませんということです。