不等式は論証力鍛錬の宝庫

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不等式は見ただけでも嫌という諸君も多いのではないでしょうか?

その通り、数学の苦手意識を生む最たる要素の一つと考えられますが、逆に言えば克服し甲斐のある要素とも言えます。

論証を積み重ねる楽しさと意外な簡単さを体験する場はそうありません。

だから、今しか『さすが!』と言わしめる論証力を鍛えるような場や機会はありません。

そして、現代文を一つ一つ魂を込めて理解する場と数学を論理的に考えていく場がその最たるものになります。

その数学の中では、不等式は論証力鍛錬の最たるものに入るでしょう。
頻出の二次不等式や相加・相乗の関係式を、この講座で制覇することを第一義としつつ、魔法のツール「コーシー・シュワルツの不等式」(入試にも実はよく出題されている)にも親しみながら、優勝劣敗の不等式もお楽しみください。

「数学苦手だからこそ不等式」目次

全103ページ

●1時間目:不等式を解く前に知っておくべきこと

不等式を解くためには、もちろん、ややこしい変形をこなしていくということも大切なのですが、それ以前に、当たり前と思えることを呼び出してくるということが出来ずに「できない、できない」と言っている風景が多いようです。

式を式としてではなく、日本語でしっかりと意識していただき、不等式の大原則と道中で使えるパーツの確認をしておいていただきます。

●2時間目:意外に使えない!? 分かったつもりの「知っておくべきこと」

大小関係が決まっている4つの数で、任意の2数の積の大小関係を考えるというシンプルな問題で、使えるパーツを呼び出すということを実感していただきます。

そして、他の講座でも頻出している[ x + 1/x ] なる式(入試でも姿かたちを変え頻出)と繋がってくることまでをも通して、パーツを呼び出してくるというより、日本語で理解していれば済むことだということを学んでください。

●3時間目:不等式を解く基本

不等式を解く基本、大原則を秀逸な例題を通して身に着けていただきます。

さらに、「資料1:因数の頭に解宿る」でも説明した相反方程式の定石解法を絡めながら、[ x + 1/x ] なる式に慣れ親しでいただき、4時間目の「相加・相乗の関係」との関係性に感動しながらスマートな頭脳へのスイッチをダメ押しします。

●4時間目:伝家の宝刀「相加・相乗の関係式」

簡単に覚えられるし、感覚的にも比較的掴みやすいから不要だという声もあるかもしれませんが、どれだけの子が意味を理解していることやら…。

何でもそうですけれど、意味をしっかり理解していないと、姿かたちを変えられるとさっぱり手が出ないことになるから、難しくもない意味を理解しようとするクセをここでつけていただきます。

そして、3文字の相加相乗を因数分解との関係性を明示しながら解説していきます。

さらに、4文字以上も含めた一般的な相加相乗を金沢大学と横浜国立大学の過去入試問題を素材にして、鮮やかさとスマートさに感動していただきます。

ここは、少し高度になりますけれど、理解し感動するところまでたどり着くだけでも君の脳細胞は飛躍的に賦活されることでしょう。

最後に、入試にも頻出の「相加・相乗の関係式」は何をおいても、慣れ親しんででおかなければなりませんから、シンプルな例題4題で訓練していただきます。

まずは、この例題4題の解説を読み理解するところからスタートして、その後、「相加・相乗の関係式」を最初の概念から思い直すために、4時間目の最初に戻って読み直すという方法も大いに有効です。

●5時間目:魔法のツール「コーシー・シュワルツの不等式」

「相加・相乗の関係式」に次いで有名な不等式なのですが、知っている生徒さんは、グッと少なくなるようです。

これも式だけで覚えようとすると覚えられませんが、日本語で言い換えておくと、おじいさんになった時でも覚えています。

さらに、座標空間でのお話から、ベクトル空間での意味を辿り、三角不等式との対応を予感することで、数学全体の体系の中で「コーシー・シュワルツの不等式」を見つめる準備をしていただきます。

でも、実際の問題にあたって、「これはコーシー・シュワルツの不等式を使えばできるんじゃないか?」と気付くこと自体が非常に難しいのが現実ですから、よく出る4つの例題を通して、この不等式の使いどころに気付く(これが、センス!)訓練をしていただきます。

●6時間目:優勝劣敗選別の論理?「チェビシェフの和の不等式」

最初に述べさせていただけるなら、「チェビシェフの和の不等式」は、まさに、塾や予備校でのクラス分けの根拠となってしまう不等式だということを申し上げておきましょう。

要するに、優勝劣敗の選別論理というわけで、塾や予備校にとっては欠かせない不等式かもしれません。

さらに、座標空間でのお話から、ベクトル空間での意味を辿り、三角不等式との対応を予感することで、数学全体の体系の中で「コーシー・シュワルツの不等式」を見つめる準備をしていただきます。

でも、実際の問題にあたって、「これはコーシー・シュワルツの不等式を使えばできるんじゃないか?」と気付くこと自体が非常に難しいのが現実ですから、よく出る4つの例題を通して、この不等式の使いどころに気付く(これが、センス!)訓練をしていただきます。

●7時間目:シンプル三角不等式

三角不等式と言われると如何にも仰々しく感じられるますが、「三角形の2辺の長さの和は残りの1辺の長さよりも大きい」という三角形の成立条件を定式化した不等式がその原形dというだけのものです。

そのことを、ピタゴラスの定理や余弦定理との関係を含めて、座標空間における三角不等式として体系化していただきます。

さらに、ベクトル空間・複素空間での三角不等式意味を辿り、その関係性を含めた全体像として捉えていただきます。

最後には、やはり、実際の三角不等式問題にあたって、絶対値(数と数との隔たり)に対するアレルギーを克服していただければと願って執筆しています。

●8時間目:頻出の二次不等式を最終確認

不等式の中では二次不等式が最も頻出なのですが、「因数の頭に解宿る」「知っ得で知っ解く二次関数(放物線)」を消化して来た諸君には、自力で解ける力が備わっている筈だという意味で、あえて8時間目に持ってきました。

ですから、とにかく不等式に慣れたいとお考えの場合は、5時間目から7時間目を自主休講されて、8時間目を選択されるのがよいかと思います。

●9時間目:苦手意識克服のトレーニング題!

頻出の「二次不等式」や「コーシー・シュワルツの不等式」「相加・相乗の関係式」「三角不等式」の使いどころに着目した珠玉の例題6題で、不等式へのアレルギーを克服してください。

例題1と2は、私自身が浮かんだ発想をいくつか書き連ねていますので、いろんな考え方・アプローチがあるんだという自由さも学んでいただければと願って執筆しました。

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京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員物理系ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような根拠のない、無責任な甘言などは思いつきもしません。

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