『数学への導火線』に標題の資料を追加致しました。

空間座標・空間ベクトルが理解できない生徒のために解説した回答を資料としてまとめました。

「空間のイメージが分からない」という大方の生徒のための模型仕立て・超初心者向け解説です。

立ち読みは、もう少し下からできますが、その前に以下をザっと読まれてくださいね。

これを足場にして、空間問題の基本問題をピックアップして、2,3問続けて見取り図を描くだけの訓練をしてみてください。

読んだだけで放っておくと、また身に付ける機会を逸してしまって、何も読まなかったことと同じになってしまいますよ!

空間図形は頭の中でイメージするのが難しい

空間座標だとか空間ベクトルの問題だと分かると、途端に拒絶反応を起こしてしまう諸君も多いのではないでしょうか?
もう、「空間問題は捨てちゃお!」って決めている子も多いかもしれませんね。

はたして、たいていの諸君は空間・立体は苦手のようです。
それというのも、平面図形なら紙に書けば見たまま以上の情報は必要なく理解が出来ますが、空間図形は見たままだけではイメージできない、理解できないという特殊な事情があります。

見たままでは理解できないものをイメージとして理解するための何らかの橋渡しが必要なのです。

ですから、君が空間や立体が嫌いだという理由には、ひとえに「頭の中でイメージするのが難しい。」ということが根底にあることは間違いないことでしょう。
誰に聞いても、「イメージができない」という声が返ってきますからね。

空間図形に変換する眼鏡

紙の上に空間図形や立体図を指し示されたとすれば、頭の中でこれを空間図形に変換する眼鏡を通してイメージを掴まないことには意味が理解できません。
その変換する眼鏡を自分なりに作り上げておかねばなりません。

このことが、空間・立体を分かるための絶対条件としてあります。
それは、「空間認識能力」などと呼ばれ、確かに天分の要素があることも確かでしょうが、誰でも訓練すればある程度の能力を身に付けることはできるのです。

ここまでは誰にも平等な条件なのです。
眼鏡を作り上げる作業をするかしないかで、チンプンカンプンのままで終わるか、少なくとも手が付けられるレベルになるかが決まります。

御多分に洩れず、一朝一夕に出来上がるものではありませんが、幾つかの実際例で丹念に確認しながら作っていくしかありません。

空間や立体を理解できるようになる方法は、

  1. いろいろな空間図形を実際に模型を作って、眺めるポジションを変えて確かめる
  2. 問題を利用して、実際に空間図を描く訓練をして慣れる
  3. 展開図であれば、実際に作ってみて立体を作る様子を観察する

結局は、こういった方法しかありません。

空間座標や空間ベクトルの問題は、ともかくも空間を紙の上に表現する、即ち空間図形を描くという作業から始まりますが、ここで躓くとイメージで掴むことからして大変難しくなり、問題に手さえ付けられずに終わるのです。

この中でも、絶対に必要な訓練は、【2.問題を利用して、実際に空間図を描く訓練をする】ということです。

空間図を描いてイメージが掴めるのであれば、わざわざ模型を作って確かめる作業は絶対に必要ということではありません。

ただ、事務的に空間図を描いてはみたものの意味が掴めない場合などには、模型を作って、何故そのように描けばいいのかなどを確かめることは大いに理解に近づく有効な手段となります。

2次元しか表現できない紙の上に 3次元を表現しなければならないのですが、普通はフリーハンドで描く見取り図と呼ばれるものですから、それほど難しいことではありません。
即ち、それほど厳密に考えて描かねばならないものでもありませんから、気楽に構えてください。

紙は二次元の平面をありのままの姿で投影することができます。
しかし、空間的な対象は、その空間上のどこかにカメラを置いて、そこから撮影したそのままの写真を紙の上に表現するしかありませんから、実際の長さ通りには見えません。

カメラの位置は「空間上のどこか」即ち、無数に存在するポジションが選べますから、どこでもいい訳ですが、対象を一番よくイメージできる位置からの眺めが最も分かりやすいのは当然です。

まず、立体としてのイメージに変換しやすい眼鏡として、斜め上方から見た見取り図にすることです。
座標軸を基準に描く空間の書き方は自由ですけれど、問題に応じて理解しやすいポジションから見た図にすることがベストです。

と言われてもそれだけでは分かりませんし、迷いますよね。
通常は3種類ぐらいの書き方があります。

その話を進める前に、一つの問題を素材にして考えいくのが実践的ですので、まず問題をご提示しておきましょう。

空間問題を捨てない超初歩 素材問題

問題は難しそうに見えますが、空間のイメージを理解するためには格好の素材です!

立ち読みをお楽しみください

空間問題を捨てない超初歩【精密自動機械設計のプロが教える見取り図の書き方】の立ち読みができます。

下記PDF画面の右上のポップアップボタンを押すとPDFが単独で表示され、その下部のズームボタン(「幅を合わせる」)をクリックしていただくと、最も見やすいかと思います。

ダウンロードは、この下部からできます。


とかくこの世は学びにくい | 成績を上げるために必須なこと

最後に、とある臨床医さんの言と、学部は同じも学科は違う我がかなり後輩(京大情報工学OB)が教育関係の論議で発言した言を併せてご紹介しておきましょう。

ところが、それら原因をいちいち正確に調べもせずに、バカのひとつ覚えのように、どこの※※※科医も、「※生検!※生検!※生検!」と、患者さんに頭ごなしにゴリ押しするのです。

いくら教科書や※※※学会で教わったことがないからと言って、臨床経験を積めば、おかしい?と思う筈です。

文献的な情報の受け売りばかりだけで、自分達の頭を使って考えることがなくなっているのが現状です。


たかが盲腸の診断すらできなくなっている医者が蔓延る世の中で、10人専門家がいれば8人はやぶだといっていいでしょう。
まして、ネット情報に至っては9人はやぶでしょう。

それぞれの周囲を見渡せば本当のプロといえる人はごく一握りだと誰もが知っているはずです。

その中で生活上の問題を切り抜けていくには、俗流社会学や俗流心理学・俗流分子生物学・俗流脳科学・俗流AIなんぞをこねくり回して遊ぶのでなく、知識、感性を自分の責任で磨いて対応するしかないですよね。

世間的には、お賢い人がなれると思われている医学の世界ですら、当事者や見る人が見れば、現実はこんなものです。(私たちの時代には理工学部の方が理系最高得点の年は当たり前でした。)

さらに、脳科学やAI(人工知能)がカッコいいなんて思っていたら大きな間違いです。
8割がたは商売人や似非科学者(特に文系出身)の漁夫の利狙いの口車ですから…。
ちなみに、私たちの専門では、「俗流電気工学」も「俗流機械工学」もありません。
詐欺師が口を挟む余地など微塵もないからです。

あなたの最寄りで、真に信頼できるお医者さんを探せれば、それは非常に幸運なことですが、まぁ十中八九、紋切り型の決まり文句で対処されるケースがほとんどですね。

我が家は、端からダメそうな医者には行きませんが、幸いにも耳鼻咽喉科と歯科、眼科、内科、整形外科では素晴らしい医師を探し当てましたが、皮膚科だけは見つかりませんでした。
しかし、眼科と整形外科では、先生が倒れられて後に引き継いだ後は全くダメという現実です。

やぶでも「係っているいることへの安心感」が大きいですし、大したこともないのに診療を受ける方も多いですから、多くの場合、特に問題はないことでしょう。

「そんな程度で来るのかよ!」と言いたくなるような初診もよく目にし、耳にしますけど、これだから医者や医薬会社は儲かるんですね!(町医者やそれなりに定評のある公立病院の医師でも、まともなプロと言える医者は、やっぱり2割程度でしょう。)

それはそれで仕方ないとしても、医者の診断は何の落ち度もないように見えますが、ことと場合によっては大いに患者を不利益に導いてしまうケースは確実に生じますし、これを経験された方も多いのではないでしょうか?

ましてや、生命には関わらない教育の世界では、指導者がやぶである確率など、さらに高いことは火を見るよりも明らかですね。

だって、先生はもちろん、塾講師だって日和見してても何の食いっぱぐれもないのですから…。

あなた(お子さん)の成績が上がるための条件は、そもそも真面目にやる気持ちがない場合を除いて、

  • あなた(お子さん)が、適切で効率的な勉強の仕方の流儀を我がものとする
  • あなた(お子さん)が、それぞれの教科の実際の学習内容に関して、自分を心底より納得させる術を会得する

という2点を、自力あるいは第三者のサポートを得て確立するということ以外にはあり得ません。

ところが、そんなところは突いてくれないのが現実社会です。
準備された模範解答を恭しくご教示して、「俺のようになるんだぞ!」というスタンスが大多数です。
単にパターンを覚えているだけの指導者には、こういう本音の言葉が見え見えです。

準備出来ない環境で教えろと言われたら、どれだけの指導者が慌てふためくことでしょうか?

こういう状況では、8割方はいつまでたってもお子さんの学力など伸びるはずはありません。

どんな問題でも、ことによっては、他人をあてにすることほど実の無いことはないのは確かですから、「やぶでも安心できればそれでいい」という場合を除けば、自分の流儀を曲がりなりにも自力で確立すべく努めることを優先されるべきでしょう。

自分の軸さえ持てれば、たとえ環境に恵まれなかったとしても、浮草のようにフラフラと漂うことだけはありません。

2019年11月1日より完成度極致のVer.2020へ!

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「帝都大学へのビジョン」は「バイブル」と頼られて10年。

頭の中にサラサラと流れる川を自力で作るために!

京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員物理系ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような、実社会で何もできなかった無責任で底の浅い騙し専門の著者やパッチワーク著者とは良心も実用性もレベルが違います。

保護者目線で見ると、ある意味、反抗期に入るまでの子育てへの思いと計画性とその質が子どもの未来を決める分水嶺です。
中学に入ってからは、保護者は基本的になす術を持ち得ません。

当人の目線で見ると、勉強法の違いでこれだけ差がつくということを分からないまま一生を過ごすか、どこかで気がついて、自分の人生の軌道を修正するかの違いであって、それをまさに旬である中高生時代にできてしまえば、下世話な現実話ですが、学歴もそこそこ備わるだけでなく、それなりに充実した職業にも就ける可能性を大きくするというだけの話です。