[脳細胞を働かせてちょう題 05]割り算のパズル

81をある正の整数で割ると、小数部分のどこかに「1995」という数字が出てきます。このような正の整数のうち、最小のものを答えなさい。

過去の算数オリンピックからの出題

何から手をつけていけばいい?

過去の算数オリンピック

どんなものでも、日本語で書いてあることを算数の式で書いていくしかないよね。

さーて、ともかく式として書いてみると、

81 ÷ □ = ◇.xxx1995xxx・・・(1) といった感じとなりました。

「小数部分のどこかに「1995」という数字が出てきます。」だから、小数点以下は何だかわからないから「.XXXXXXXXX」にしておいて、このどこでもいいから適当な場所に「1995」をはさんでおいてやればいい。

このように書いておく以外に書き方があるかな?

このように殴り書きを始めないと考えることも始まらないで空を見つめるだけで時間が過ぎていく。

書きながら、いや、その前に方針を立ててしまえる子も多いかもしれませんが、そんな子は少し我慢してもう少し付き合ってください。

僕は頭が良くないので具体的に考えないと先に進めないってわけです。

ともかく、「1995」は小数点の部分であるならどこにあっても構わないんだから、0.1995と小数部分の最上位に「1995」を持ってきて、「例えば・・・」と考え始めます。

式で言えば、81 ÷ □ = ◇.1995xxx・・・(2) と考えてやろうということですね。

このように考えることになにか不都合があると思いますか?

僕は、(1)の式 81 ÷ □ = ◇.xxx1995xxx は両辺ともを1000倍したって成り立って、
81000 ÷ □ = ◇xxx.1995xxx となりますから何も不都合はないと考えました。

ご近所さんを見る・シンプルさんを見ることを覚える

このときに、実は0.2という数字を視野に据えています。

何故かって?

こんなややこしい数字には何か裏があって、きっと近くのキリのいい数字と何か関係があるかもしれないと疑うクセが付いているからです。

おそらく、こういった「近くの数字」「キリのいい数字」を思い浮かべようとすること、もっと言えば本書でも書いているように「こうだったらいいのにな!」と思う対象に目を付けてみることが、ひらめきの源泉の一つになることは確かですよ。

すなわち、

  1. 0.2という数字が5倍すれば整数1になれるキリのよい数字だということ
  2. 0.1995は、そのキリのよい数字0.2に限りなく近い数字であること

の2点に着眼して、無数にある数字の中から0.2を取り出してくることなんです。

日本語では『分節化』ということになるでしょうか?

と言っても、閃いてからも先の長~いのが世の中の常ですけれど…。(笑)

上記の2.により、

0.1995=0.2-0.0005 であることを書き出しておきます。

0.2を5倍すれば 1 ・・・基準
0.1995を5倍すれば 1 - 0.0005 × 5

0.2を10倍すれば 2 ・・・基準
0.1995を10倍すれば 2 - 0.0005 × 10

・・・・

と思考実験に入ります。

何故なら、想定した(2)の式で「◇.1995xxx」の「xxx」はとりあえず無視して
81 ÷ □ = ◇.1995・・・(3) として考えてやると、 
◇.1995に□を掛けたら81という整数になると言えるわけですから、0.1995に分かりやすい倍数を掛けて様子をみようという作戦です。

どうやら、倍数を大きくすればするほど、0.1995の倍数は基準の整数から遠ざかっていきます。

ところが、

0.2を400倍すれば 80 ・・・基準
0.1995を400倍すれば 80 - 0.0005 × 400 = 80 - 0.2 ← この結果は0.2を399倍した数字と一致

これで感覚的には答えに近づいたというか答えだけなら出て来るわけですが、このままでは単なる本質を探し当てるためのラフな思考の殴り書き。

何故、整数を捉えなきゃいけないの?

解答プロセスを正式に書くとすれば、ここからは、原式 81 ÷ □ = ◇.xxx1995xxx・・・(1) から忠実に説明していかねばなりません。

よかったら考えてみてください!

教科書とは違って、こういった問題なら徹底的に納得するまで考えようとできるのではないでしょうか?

頭が良すぎるとひっかけの罠にはまることもある!

親子でめざせ!算数オリンピック

心の底から理解して正式な解答プロセスを書き上げることで、数学力は数段アップするでしょう。

ひらめいた後の詰めも、なかなか緻密さが要求されます。

答えは401です。

実際のオリンピックでは406と答えた人が多かったようですが、逆に何故?って思いました。

でも、その理由は何となく分かりました(おそらく81 ÷ 0.1995 から)が、僕の不器用な頭ではこの発想が思いつきませんでした。

でも、それが幸いして出題者のひっかけ・罠にはハマらなかったと言えそうです。

『怪我の功名』ということもありますから、不器用でも確かなことをきっちり積み重ねていれば、思わぬ勝利を収めるシーンも必ず出てきますよ。

この問題を与えて、子どもの脳細胞の働きが間違ったまさにその分岐点を悟らせることができれば、それこそ本物の指導者と言えるかもしれませんね。

とかくこの世は学びにくい | 成績を上げるために必須なこと

最後に、とある臨床医さんの言と学部は違いますが我が後輩(京大情報工学OB)が教育関係の論議で発言した言を併せてご紹介しておきましょう。

ところが、それら原因をいちいち正確に調べもせずに、バカのひとつ覚えのように、どこの※※※科医も、「※生検!※生検!※生検!」と、患者さんに頭ごなしにゴリ押しするのです。

いくら教科書や※※※学会で教わったことがないからと言って、臨床経験を積めば、おかしい?と思う筈です。

文献的な情報の受け売りばかりだけで、自分達の頭を使って考えることがなくなっているのが現状です。


たかが盲腸の診断すらできなくなっている医者が蔓延る世の中で、10人専門家がいれば8人はやぶだといっていいでしょう。
まして、ネット情報に至っては9人はやぶでしょう。

それぞれの周囲を見渡せば本当のプロといえる人はごく一握りだと誰もが知っているはずです。

その中で生活上の問題を切り抜けていくには、俗流社会学や俗流心理学・俗流分子生物学・俗流脳科学・俗流AIなんぞをこねくり回して遊ぶのでなく、知識、感性を自分の責任で磨いて対応するしかないですよね。

世間的には、お賢い人がなれると思われている医学の世界ですら、当事者や見る人が見れば、現実はこんなものです。

あなたの最寄りで、真に信頼できるお医者さんを探せれば、それは非常に幸運なことですが、まぁ十中八九、紋切り型の決まり文句で対処されるケースがほとんどですね。

「やぶでも係っているいることへの安心感」が大きいですから、多くの場合は特に問題はありません。

それ自体は何の落ち度もないように見えますが、ことと場合によっては大いに患者を不利益に導いてしまうケースは確実に生じますし、これを経験された方も多いのではないでしょうか?

ましてや、生命には関わらない教育の世界では、指導者がやぶである確率など、さらに高いことは目に見えています。

お子さんの成績が上がるための条件は、そもそも真面目にやる気持ちがない場合を除いては、

  • あなた(お子さん)が、適切で効率的な勉強の仕方の流儀を我がものとする
  • あなた(お子さん)が、それぞれの教科の実際の学習内容に関して、自分を心底より納得させる術を会得する

という2点を、自力あるいは第三者のサポートを得て確立するということ以外にはあり得ません。

ところが、そんなところは突いてくれないのが現実社会です。
準備された模範解答を恭しくご教示して、「俺のようになれるだろ?」というスタンスが大多数です。

準備出来ない環境で教えろと言われたら、どれだけの指導者が慌てふためくことでしょうか?

こういう状況では、8割方はいつまでたってもお子さんの学力など伸びるはずはありません。

どんな問題でも、ことによっては、他人をあてにすることほど実の無いことはないのは確かですから、「やぶでも安心できればそれでいい」という場合を除けば、自分の流儀を曲がりなりにも自力で確立すべく努めることを優先されるべきでしょう。

自分の軸さえ持てれば、たとえ環境に恵まれなかったとしても、浮草のようにフラフラと漂うことだけはありません。

11月1日より完成度極致のVer.2020へ!

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「帝都大学へのビジョン」は「バイブル」と頼られて10年。

頭の中にサラサラと流れる川を自力で作るために!

京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員物理系ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような、実社会で何もできなかった無責任で底の浅い騙し専門の著者とは良心も実用性もレベルが違います。

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