[脳細胞を働かせてちょう題 12]偽コインを探す力

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~天秤ばかりを3回だけ使用可

【問題】

12枚のコインがあります。
そのうちの1枚だけは重さが違います。

天秤ばかりを3回だけ使うことによって、そのコインを探し当て、他のコインより重いか軽いかをも判別してください。

「偽コイン」の問題として有名ですが、私も最初に出会ったのは、小学生の教え子に頭の体操程度にでもと思いついたときのこと。

軽く考えていた割に、自分自身が相当考えなければなりませんでした。🤔

それでも、比較的短時間で、考え切るところまでは出来ましたから、よかった!よかった!

ただ、小学生でも考える力を身に着けつつある子は解いちゃいますから、君もウカウカしてられませんよ!

私も、それっきりで、まだ本質をつかむところまでには達していませんでしたので、この記事を機に本質に近づいていきます。
(本質までは小学生には難しいとは思いますが…)

でも、君は、まずは頭の体操的な感覚で、自力で考え切ろうとトライすることが大切です。
そして、君が小学生であっても、おそらく、かつての私と同じようにその方法を見つけてくれることと思います。

それでいいのです。
考えるという作業を行うということ自体が、君を「考えることのできる人」に自然に育ててくれるのですから。

たとえ、それが、まだまだ本質には及ばなくても、別に数学者になるわけでもないのですから…。

私なんかも、数学を専門に勉強したわけではなく、工学部として必要な数学しか知りませんし、それも大したことないと思っていますから、数学者などから見れば幼稚園児のようなものですけれど、それはそれで仕方のないことじゃないですか。

ただ、学校や塾で習うようなことではないからと思い込んじゃうと、反って損をすると思いますよ。

実際、この問題を解決する力は、実際の算数入試問題を解くにあたっても、欠かすことのできない思考力・整理力とつながっていますよ。

ですから、難関中学入試を目指す子の中で、暗記ではなく本当に考える力のある子は、解き切っちゃうと思います。

私の教えた子は塾に通っていなくて何の知識もなかった(答案をみれば一目瞭然に分かります)ですけれど、たいていの問題はその場で考えて答えにたどり着いていました。

まさに、野生児だったのですが、そのあたりで、同じ進学校に合格しても、学年が上がるごとに伸びる子と伸びない子がくっきり分かれてくるのでしょうね。

さて、考え切ったら、解決しようとしまいと、ググって調べてみて下さい。
有名な問題故、たくさんの名答・珍答に出会えます。
楽しむ意味、人の考えるプロセスを参考にする意味でもおすすめです。

さて、偽物を特定できた君は実に素晴らしい!

もし、興味があれば、勉強の合間に、場合分けせずとも判別できる方法を考えてみては如何ですか?

ネットでは、そこまで極めている方はほとんど居られないように見受けられますし…。

ちなみに、この問題はコインが14枚以上になると、「判別不能」というのが解答になります。

計量結果によって次の乗せ方を考えることなく普遍的に判定する

この問題を最初に出会ったとき、なかなか苦戦させていただきましたが、何とかネットで正しく答えておられる方の考え方と同じところまで辿り着くことができました。

実は、あらかじめ天秤に乗せるメンバーを決めておけば、いかなる場合でも3回の天秤ばかり計量で偽コインが判定できます。

この決め方は、当然ながら、ネットで正しく解説されている方や私自身の辿った思考プロセスを一般化し普遍化した形になります。

まずは、乗せるコインを間違えないように、あるいは考えやすくするためにも、12枚のコインに番号を付けておいてやった方が便利ですね。

そして、下の図の〇に入ったコインの番号通りに乗せて(下の図の〇は空白にしてあります)、計量結果から判断すれば偽コインが判定できるというわけです。

場合分けしながら判定方法を見つけられた方なら、下の図の〇に入る番号を決めるところからできるのではないでしょうか。
(そうでない方にも、〇の色が違っているところがヒントになりそうです。)

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

おっと、「何故4個ずつになってるか?」ですって。

それは、まず6個ずつ乗せた場合にどんな顛末になるかってところから考えてみて下さい。

偽コインが本物より重いのか軽いのかが分からないんですよ!

3回の天秤ばかり計量のレギュラー・メンバー

12枚のコインに番号をふり、下記のように4つのグループに分けておきます。

  • 第1グループ:①②③(黒)
  • 第2グループ:④⑤⑥(青)
  • 第3グループ:⑦⑧⑨(紫)
  • 第4グループ:⑩⑪⑫(赤)

そして、天秤に乗せるメンバーをあらかじめ下図のように振り分けて決めておきます。

この図は、答えそのものになりますので、実際の計量結果を12通りに分けて検証していくと、いかなる場合でも、偽コインを特定できることに驚かれることでしょう!

Trailer(結末の予告)

如何でしょうか?

天秤に乗せるメンバーをあらかじめ決めておくことで、どんな場合でも偽コインが判定できてしまいます!

「先生、おかしいよ!”どんな場合でも”って嘘だよ!だって、各回で、天秤の状態は、吊り合ってるか、左が重いか、右が重いかの3通りあるんだから、どんな場合もと言うなら3×3×3=27通りの計量結果があるはずだよ!」

「おぉ!君は素晴らしい!まったくその通りだよ!」

気が付かれたかもしれませんが、上の12例の計量結果は、偽コインが本物より重い場合だけしかありませんね。
実は、上の12例と天秤の軽重を逆にした計量結果を採ると、偽コインが本物より軽い場合の12例ができます。

「それなら、合計24例になるけど、まだ3例足りないんじゃない?」

「おぉ!重ね重ね君は素晴らしい!まったくその通りだよ!」

先ず、3回とも吊り合ってしまう場合は、あらかじめ偽コインが分かっていて、それを決して天秤に乗せないという場合か、偶然そうなった場合でしかあり得ないことですね。

・・・

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

では、いかなる場合でも3回の天秤ばかりで偽コインが判定できることを確認していきましょう!

計量結果1H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
それだけしか分かりません。

吊り合ったので、左右のメンバーの中には偽コインがないことが判明しました。(④~⑪のコインは本物)
このことから、1回目の右側はすべて本物、左側の⑩が本物になりますから、偽コインは①②③のどれかであり、従って、まだ未登場の⑫も本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は①のみ、右側で真偽不明は②のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
左側が重いということで、①が偽コインであることが判明します。

計量結果2H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
それだけしか分かりません。

吊り合ったので、左右のメンバーの中には偽コインがないことが判明しました。(④~⑪のコインは本物)
このことから、1回目の右側はすべて本物、左側の⑩が本物になりますから、偽コインは①②③のどれかであり、従って、まだ未登場の⑫も本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は①のみ、右側で真偽不明は②のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
右側が重いということで、②が偽コインであることが判明します。

計量結果3H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
それだけしか分かりません。

吊り合ったので、左右のメンバーの中には偽コインがないことが判明しました。(④~⑪のコインは本物)
このことから、1回目の右側はすべて本物、左側の⑩が本物になりますから、偽コインは①②③のどれかであり、従って、まだ未登場の⑫も本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は①のみ、右側で真偽不明は②のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
左右が吊り合ったことで、①も②も本物であることが判明。
ということは、2回目で①②③のどれかが偽コインであることが判明していることから、残った③が偽コインであることが判明します。

計量結果4H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
それだけしか分かりません。

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
1回目と軽重が反転していますので、左側のメンバー⑩と右側のメンバー⑪が偽コインであることはあり得ず、本物であると判明します。
よって、1回目と併せて考えると、④⑤⑥のどれかが偽コインであること、従って、①~③、⑦~⑪のコインと未登場の⑫は本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は④のみ、右側で真偽不明は⑤のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
左側が重いということは、④が偽コインであることが判明します。

計量結果5H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
それだけしか分かりません。

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
1回目と軽重が反転していますので、左側のメンバー⑩と右側のメンバー⑪が偽コインであることはあり得ず、本物であると判明します。
よって、1回目と併せて考えると、④⑤⑥のどれかが偽コインであること、従って、①~③、⑦~⑪のコインと未登場の⑫は本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は④のみ、右側で真偽不明は⑤のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
右側が重いということは、⑤が偽コインであることが判明します。

計量結果6H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
それだけしか分かりません。

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
1回目と軽重が反転していますので、左側のメンバー⑩と右側のメンバー⑪が偽コインであることはあり得ず、本物であると判明します。
よって、1回目と併せて考えると、④⑤⑥のどれかが偽コインであること、従って、①~③、⑦~⑪のコインと未登場の⑫は本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は④のみ、右側で真偽不明は⑤のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
左右が吊り合ったことで、④も⑤も本物であることが判明。
2回目で④⑤⑥のどれかが偽コインであることが判明していることから、残った⑥が偽コインであることが判明します。

計量結果7H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

吊り合っていますから、右側、左側のいずれにも偽コインは含まれていないことが分かります。
①~⑥と⑩⑪は本物です。

左側のメンバーすべてと右側の⑪は1回目で本物と判明しましたので、右側の⑦⑧⑨のいずれかに偽コインがあることが判明します。
また、未登場の⑫も本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は⑦のみ、右側で真偽不明は⑧のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
左側が重いということで、⑦が偽コインであることが判明します。

計量結果8H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

吊り合っていますから、右側、左側のいずれにも偽コインは含まれていないことが分かります。
①~⑥と⑩⑪は本物です。

左側のメンバーすべてと右側の⑪は1回目で本物と判明しましたので、右側の⑦⑧⑨のいずれかに偽コインがあることが判明します。
また、未登場の⑫も本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は⑦のみ、右側で真偽不明は⑧のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
右側が重いということで、⑧が偽コインであることが判明します。

計量結果9H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

吊り合っていますから、右側、左側のいずれにも偽コインは含まれていないことが分かります。
①~⑥と⑩⑪は本物です。

左側のメンバーすべてと右側の⑪は1回目で本物と判明しましたので、右側の⑦⑧⑨のいずれかに偽コインがあることが判明します。
また、未登場の⑫も本物であり、且つ偽コインは本物より重いということまで判明します。

左側で真偽不明は⑦のみ、右側で真偽不明は⑧のみ。(初登場の⑫は2回目で本物と判明)
左右が吊り合ったことで、⑦も⑧も本物であることが判明。
2回目で⑦⑧⑨のどれかが偽コインであることが判明していることから、残った⑨が偽コインであることが判明します。

計量結果10H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
それだけしか分かりません。

左側が重くなったことにより、1回目の右側と共通のメンバーである④⑤⑥のどれかが偽コインであることはあり得ず、本物であることが判明します。
また、①②③のどれかが偽コインであった場合は2回目は吊り合わなければなりませんし、⑦⑧⑨のどれかが偽コインであった場合は1回目が釣り合わなければなりませんから、これもあり得ず本物であることが判明します。(①~⑨のコインは本物)
このことから、偽コインは⑩⑪か未登場の⑫のいずれかであることが判明します。
但し、偽コインは本物より重いか軽いかはまだ分かりません。

左側で真偽不明は⑪のみ、右側で真偽不明は⑫のみ。
吊り合うということは、どちらもが偽コインではないことが判明しますので、⑩が偽コインであることが判明すると同時に、1回目・2回目の結果から本物より重いことが判明します。

計量結果11H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

右側、左側のいずれかに偽コインがあることが分かります。
それだけしか分かりません。

右側が重くなったことにより、1回目の左側と共通のメンバーである④⑤⑥のどれかが偽コインであることはあり得ず、本物であることが判明します。
また、①②③のどれかが偽コインであった場合は2回目は吊り合わなければなりませんし、⑦⑧⑨のどれかが偽コインであった場合は1回目が釣り合わなければなりませんから、これもあり得ず本物であることが判明します。(①~⑨のコインは本物)
このことから、偽コインは⑩⑪か未登場の⑫のいずれかであることが判明します。
但し、偽コインは本物より重いか軽いかはまだ分かりません。

左側で真偽不明は⑪のみ、右側で真偽不明は⑫のみ。
重い左側の⑪が偽コインという可能性か、軽い右側の⑫が偽コインという可能性がありますが、1回目・2回目で⑪をメンバーとした右側が重く、⑩をメンバーとした左側が軽いことから、軽い⑩⑫が本物で、候補の3つの内ただ一人重い⑪が偽コインであることが判明します。

計量結果12H

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~1回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~2回目

12枚のコインの中で偽コインはどれ?~3回目

吊り合っていますから、右側、左側のいずれにも偽コインは含まれていないことが分かります。
①~⑥と⑩⑪は本物です。

吊り合っていますから、右側、左側のいずれにも偽コインは含まれていないことが分かります。
1回目と併せて①~⑨と⑩⑪は本物です。
ということは、⑫が偽コインであることが、この段階で判明します。
但し、偽コインは本物より重いか軽いかはまだ分かりません。

すでに2回目で判明した偽コイン⑫を含む右側が重いということは、偽コインは本物より重いということが判明します。

如何でしょうか?

天秤に乗せるメンバーをあらかじめ決めておくことで、どんな場合でも偽コインが判定できてしまいます!

「先生、おかしいよ!どんな場合でもって嘘だよ!だって、各回で、天秤の状態は、吊り合ってるか、左が重いか、右が重いかの3通りあるんだから、どんな場合もと言うなら3×3×3=27通りの計量結果があるはずだよ!」

「おぉ!君は素晴らしい!まったくその通りだよ!」

気が付かれたかもしれませんが、上の12例の計量結果は、偽コインが本物より重い場合だけしかありませんね。
実は、上の12例と天秤の軽重を逆にした計量結果を採ると、偽コインが本物より軽い場合の12例ができます。

「それなら、合計24例になるけど、まだ3例足りないんじゃない?」

「おぉ!重ね重ね君は素晴らしい!まったくその通りだよ!」

先ず、3回とも吊り合ってしまう場合は、あらかじめ偽コインが分かっていて、それを決して天秤に乗せないという場合か、偶然そうなった場合でしかあり得ないことですね。

逆に言えば、偽コインだと知らなかったけれど、たまたまその偽コインを一度も天秤ばかりに乗せなかったすれば、3回とも吊り合うのは当然で、且つ、その3回で他のコインはすべて乗せられているとすれば、結果的に乗せなかったコインが偽だと判明しますけれど、それは偶然に過ぎない特殊な場合で一般的ではないですね。

例えば、3回目の右側のメンバー⑫の替りに⑪だった場合の計量結果12Hの3回目は吊り合い、登場しない⑫が偽コインだと確かに判定できます。

しかし、その代わりに、計量結果11Hの3回目が吊り合ってしまい、⑩が軽い偽コインなのか⑪が重い偽コインなのかが判定できないままで終えてしまう不都合が発生します。

もし、天秤ばかりに乗せなかったコインが本物だったら、絶対に3回とも吊り合うことはないですから、どのコインも一度は天秤ばかりに乗せるという条件を暗黙裡に与えられていると考えなければなりません。

次に、3回とも左側が重い場合と3回とも右側が多い場合は、当然、左右のメンバーの決め方によってあり得ることですから、当然の疑問です。

これは、例えば同じコインを3回とも天秤ばかりに乗せる場合、3回とも同じ側に乗せないという取り決めでメンバーを決めるというルールを前提としての話となります。

逆に言えば、メンバーの左右の配置を上のルールに則って決めた後で付けられる条件です。

本例では、④と⑤と⑪が3回の計量すべてに参加しますが、それぞれが3回とも同じ側にはないですね。

ですから、この3つが偽コインだったとしても、3回とも同じ側に傾くことは決してないということから、3回とも左側が重い場合と3回とも右側が多いことはあり得ないということで除外できるわけです。

とかくこの世は学びにくい | 成績を上げるために必須なこと

最後に、とある臨床医さんの言と学部は違いますが我が後輩(京大情報工学OB)が教育関係の論議で発言した言を併せてご紹介しておきましょう。

ところが、それら原因をいちいち正確に調べもせずに、バカのひとつ覚えのように、どこの※※※科医も、「※生検!※生検!※生検!」と、患者さんに頭ごなしにゴリ押しするのです。

いくら教科書や※※※学会で教わったことがないからと言って、臨床経験を積めば、おかしい?と思う筈です。

文献的な情報の受け売りばかりだけで、自分達の頭を使って考えることがなくなっているのが現状です。


たかが盲腸の診断すらできなくなっている医者が蔓延る世の中で、10人専門家がいれば8人はやぶだといっていいでしょう。
まして、ネット情報に至っては9人はやぶでしょう。

それぞれの周囲を見渡せば本当のプロといえる人はごく一握りだと誰もが知っているはずです。

その中で生活上の問題を切り抜けていくには、俗流社会学や俗流心理学・俗流分子生物学・俗流脳科学・俗流AIなんぞをこねくり回して遊ぶのでなく、知識、感性を自分の責任で磨いて対応するしかないですよね。

世間的には、お賢い人がなれると思われている医学の世界ですら、当事者や見る人が見れば、現実はこんなものです。

あなたの最寄りで、真に信頼できるお医者さんを探せれば、それは非常に幸運なことですが、まぁ十中八九、紋切り型の決まり文句で対処されるケースがほとんどですね。

「やぶでも係っているいることへの安心感」が大きいですから、多くの場合は特に問題はありません。

それ自体は何の落ち度もないように見えますが、ことと場合によっては大いに患者を不利益に導いてしまうケースは確実に生じますし、これを経験された方も多いのではないでしょうか?

ましてや、生命には関わらない教育の世界では、指導者がやぶである確率など、さらに高いことは目に見えています。

お子さんの成績が上がるための条件は、そもそも真面目にやる気持ちがない場合を除いては、

  • あなた(お子さん)が、適切で効率的な勉強の仕方の流儀を我がものとする
  • あなた(お子さん)が、それぞれの教科の実際の学習内容に関して、自分を心底より納得させる術を会得する

という2点を、自力あるいは第三者のサポートを得て確立するということ以外にはあり得ません。

ところが、そんなところは突いてくれないのが現実社会です。
準備された模範解答を恭しくご教示して、「俺のようになれるだろ?」というスタンスが大多数です。

準備出来ない環境で教えろと言われたら、どれだけの指導者が慌てふためくことでしょうか?

こういう状況では、8割方はいつまでたってもお子さんの学力など伸びるはずはありません。

どんな問題でも、ことによっては、他人をあてにすることほど実の無いことはないのは確かですから、「やぶでも安心できればそれでいい」という場合を除けば、自分の流儀を曲がりなりにも自力で確立すべく努めることを優先されるべきでしょう。

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