次数を減らしてから計算する基礎問題

x~2+x+1=0を満足する正数xに対して、有理数a,bを係数とするxの多項式x~5+ax+b
の値が=-√5になるように、a,bの値を定めよ。

出来る限りなまくら人間になろうという発想を持て

[今日の書きなぐりノート]

問題を素直に紐解いて、言い換えてみよう。

2次方程式、x~2+x+1=0・・・・①
の解で正の値をとる解を対象として、

x~5+ax+b=-√5・・・②
になるような有理数の値は何か?

という問題である。

①の方程式は、解の公式によってそのまま解ける。
使うかどうかは未定だが手間でも何でもないので、とりあえず出しておこう。

解の公式

この2つの解の内、正の値をとる解、解の公式:正の解 ・・・③
が対象だよ というお話になる。

③を②に代入してやれば
解の公式という形になって、a,bが有理数であるという条件からa,bは確定されるようになっているのだろうと予測できる。

ただ、解の公式:正の解 を5乗するなどという計算もかったるい!

x~2なら、①を利用してから出て来ること、
x~4 なら、これを2乗すれば出て来ることに気付いているだろうか?

どっちにしても僕は、計算はできる限りしたくない人間だから、次数が高いときにはわざわざ計算をしないことに心を決めている。

では、どうすればいいのか?
五次式の②を二次式①と三次式の積と辻褄が合わない部分を和の形にして表してやればいい。

早い話が、②の左辺を①で割ってやればいいんだよね。
辻褄が合わない部分と書いたのは、割った時の余りの部分のことになる。

二次式①の値は0であるから、積の部分は0になって、余りの部分だけを計算すればよいことになる。
そして、二次式で割ると余りは一次式だよね。

辛―い計算することは何もないよね。

さぁ、やってみてくれたまえ。

もし、解答やいろんな考え方が知りたいと言うならば、以下に会員限定で示すことにしよう。

挑戦するあなたへ贈る応援の詩

My Life, My Road ~サトミの闘い~

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