たったこれだけの問題がセンスに火をつける!

普通のテキストベースで書ける問題を作ってみた。
たった、これだけの問題なんですが、君は解けるのでしょうか?

[基礎問題]

nが奇数の時、n5-nは240の倍数かどうかを検証せよ。

まず、小さい数で考えることを知る!

口が酸っぱくなるほど繰り返しているのがこのこと。

もちろん、君がそんなこと考えなくてもすぐに方針が立ってしまうなら別だよ。

けれども、凡人の極みである僕なんかは、まず小さな数でどういうことを言っているのかを確かめないことには、ダイレクトに着眼点が浮かばない。

今日の書きなぐりノート

次数は5次と高いけれども、式はたった一つの演算しかない短い式。

「240の倍数か?」と問われている。

そんなこと、何をすれば分かるの?

そこから出発するとすれば、

まず、小さい数で考える!

これが、算数や数学の原点である。

はしょるかはしょらないかは、
実力の到達段階や苦手意識の有無や問題のややこしさで決まって来る。

秀才でもややこしい問題になればこの作業をしているだろう。
もっとも、本問であればたいていははしょっていることだろうが…。

「○は6の倍数か?」と自分で問うてみればいいのさ。

  • 6は6の倍数か?・・・yes
  • 8は6の倍数か?・・・no
  • 10は6の倍数か?・・・no
  • 12は6の倍数か?・・・yes
  • 14は6の倍数か?・・・no
  • 16は6の倍数か?・・・no
  • 18は6の倍数か?・・・yes

ところで、「7は6の倍数か?」とか「9は6の倍数か?」とか「「11は6の倍数か?」まで問うことはないだろう。

たとえ問うたとしても、やがて気付くことになるだろう。

何故なら、奇数が6の倍数になる筈はないから…。
だから、○は偶数でなければyesになる筈はない!!

でも、奇数をやっちまって無駄骨だと一度身に染みれば、それがセンスとなって返って来る。
失敗はたいていセンスの源になる!!

さてさて、偶数を並べてみてもyesの場合もありゃnoの場合もある!

yesの場合を見ると、言えること・・・全てが3の倍数ではないか!
noの場合を見ると、決して3の倍数ではないのだ。

ここで、推理をすることになる。
【偶数(2の倍数)であり、しかも3の倍数であるものが6の倍数である】
と言えると。

これで、
6=2×3 の姿にこの問題解決のカギがあることをあぶり出せたことになる。

さて、ここで分かったような気になっちゃいけないねん。

「8の倍数であるか?」を、この方式に当てはめてみると、

【偶数(2の倍数)であり、しかも4の倍数であるものが8の倍数である】となるが、
これは正しくないことがすぐに分かる。

12は2の倍数であり且つ4の倍数であるが、決して8の倍数ではない!

これは、4の倍数自体が例外なく2の倍数であるから…

即ち、4=2×2なんだよね。

2の倍数の集合と4の倍数の集合を書いてみれば一目瞭然ね。

2の倍数の集合である大きな○の中の一部に4の倍数の集合がすっぽりと収まるね。

これを見れば、【偶数(2の倍数)であり、しかも4の倍数である】ってことは、ただ単に【4の倍数である】ってこと以外の何ものでもないね。

一方、2の倍数の集合と3の倍数の集合を書いてみて!

重なり合う部分もあるけれど、お互いに全然関与しない部分もあるね。

だからこそ、【偶数(2の倍数)であり、しかも3の倍数であるものが6の倍数である】という言葉の意味が出て来るんだね。

この2と3の関係を『互いに素』と呼ぶ!

もう少し言い方を変えると、1以外(整数と言う場合には正式には1と-1以外)に共通の約数を持たないような関係ということになる。

6=2×3
8=2×2×2

そして、このように、もうこれ以上バラバラにはできないというところまで積の形に分解しちゃうことを『素因数分解』という。

当然ながら、素数の積にならざるを得ないね。

6の場合、互いに素である2と3の積で表せるけれども、8の場合は互いに素である整数の積としては表せない。

だから、8の倍数は、直接8で割ることができるかどうかを確かめるしかない!



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