過去入試問題より・・・よく出る台形の面積比

台形女子で合格!

今回は特定の中学校の入試問題というわけではなく、入試にもよく出題される台形に関する面積比の基本を鍛えておきましょう!

図形を見ただけでイヤになる子も多いかもしれませんが、「やってみれば意外に簡単じゃないか!」と感じるところから自信は生まれてきます。

簡単と難しいを橋渡しするような問題ですから、是非、じっくり理解するまで粘ってください。
子どもが変わるのは意外に、たった一つの感動や達成感からであることが多いものです。


算数の基本を鍛える問題(12)

台形の面積比

【問題】

左の図で(ア)の部分と(イ)の部分の面積が5:3のとき、DE:ECの比を求めなさい。

目の付けどころ&知っておくべきこと

まず、問題の図を見て「なーんだ!」って思う子は、もう手慣れたものなんだろうね。

逆に言えば、問題の図を見て、すぐに「何をするのか?」が分かってしまうかしまわないかで最初から差がついちゃうということになる。

「塾に行ってないから僕には分かんないよ!」という子は、次のように考えてみればどうかな?

別に、塾に行っていなくても普通に解くことができるようになると思うよ。

  1. (ア)の部分の台形は変な形で面積なんてお手上げだから何か線を引いてみよう!

    台形の面積比

    (ア)の部分の台形を見ていてもらちが明かないや!

    何か線を引けば分かるんかな?

    AとCを結んでやれ~!

    変な四角形が小さくなっただけで余計に分かんないや!

    こんな線を引いても、何にも解決しそうにないぜ!

  2. 他に引ける線は?っと…

    台形の面積比

    BとDを結んでやれ!

    おっ!変な四角形は消えて全部が三角形に分割されたぞ!

    (ア)の部分の面積は三角形ABDの面積と三角形DBEの面積の和になっている!

    それに、三角形ABDと三角形BDCは底辺が3cmと5cmで違うけれども高さは同じだぜ!

    ということは、面積の比が3:5ということじゃないか!

  3. 問題にある線分BEは三角形DBCを2つに分割する線になってる!

    台形の面積比

    三角形DBEと三角形CBEも底辺がDEとCEで、面積を計算するときの高さは同じじゃないか!

  4. 高さが同じなら面積の比は底辺の比と同じ!

    台形の面積比

    三角形DBEと三角形CBEの面積の比はDE:CE、すなわちa:bと等しいということだ!

  5. 多角形の面積も三角形に分割して考えると見えてくる!

    台形の面積比

    2.の結論からは、全体の面積を8とすると三角形ABDが3で三角形DBCが5ということ。

    問題から、(ア)の部分と(イ)の部分の面積は5:3だから、これもちょうど全体の面積を8とすれば、(ア)が5で(イ)が3。

    ということは、三角形DBEが2で三角形EBCが3ということになる。

この問題は、考えるプロセスと理由を大切にするために、全体の面積を8として統一して考えられるように比を設定してあります。

実際問題としては、全体の面積を1として統一し、配分は分数で表現しなければなりません。

上の問題では、全体の面積を1とすると三角形ABDの面積は\(\frac{3}{8}\)で三角形DBCの面積が\(\frac{5}{8}\)という表現ですね。

台形や多角形の面積は2つの三角形に分割して考えれば正体が見えてくることが多い!

今、こころに刻んでおいてくださいね。

最後に、下の問題を確認しておいてください。

上の問題より簡単ですが、考え方をより確かに掴むために1ステップずつ確かめながら進めましょう。

さらに、次の2点についての関りについて見直して理解しておくと、鬼に金棒です。

  • 三角形を無理に作らなくても、分割された小さな台形(上辺と底辺が平行)にはそのまま台形の面積の公式が使えること
  • 逆に、台形の面積の公式は三角形に分割すればその理由が説明できること

台形の面積比

【問題】

左の図で線分DEは台形の面積を二等分しています。BEの長さを求めなさい。

「台形の面積の公式を三角形に分割して即座に説明できる」ところまでやってみる勉強の仕方をした子なら、この問題は5秒で答えが出ます。

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京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような根拠のない、いい加減な甘言は書いていません。

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