開成中学過去入試問題より・・・難しそうに見えるけど

_blank

知る人ぞ知る開成中学

僕が大学を卒業した後から、開成が灘から東大合格者数トップの座を奪ったというニュースが流れたんだけれど、「そもそも生徒数が3倍弱ほども違うじゃん!違う土俵で比較するなんて、世の中もおかしなことするね!」と思ったことをよく覚えています。

別に関西人だから灘の肩をもってケチをつけるつもりじゃないよ。

優秀な人間を目指すみんなには、どこの学校であれ、それ自体が尊いことで、どんどん優秀に磨きをかけてくれればいいと思っているだけですからね。

「勉強ばっかりして」なんて悪口言われても、何をするでもなくダラダラ生きている人よりはよほどマシです。
どんどん世界に出て行ってください!

下でピックアップした問題は一目でつるかめ算と分かるけれど、「かぶと虫」が余分に入っているから難しそうに見えるよね。

確かに難問だという人は多いだろうけれど、「開成」という名前にひるんで、「どうせできっこないよ」なんて思いこんでいるだけのメンタルで負けちゃってるんだよ。

普通に日本語が分かれば、本当はもっともっとたくさんの子ができるはずの問題だよ。

実際問題、答だけなら平凡な成績の君でも出るはずだ!
あとは、表現力の問題だけれども、これだけは実際に経験して体で覚えるしかない!

ただし、かぶと虫の足が何本あるかを知らないとお話にならない。
「かぶと虫の足は6本です」とまでの説明は書かれていないところが、さすがに開成なんだろうね、


算数の基本を鍛える問題(6)

【問題】

つるとかめとかぶと虫の頭数が16で、足の数は合わせて54です。
次の問いに答えなさい。

  1. つるの頭数とかめの頭数の比が3:1のとき、かぶと虫は何びきですか。
  2. かぶと虫の頭数がもっとも多いとき、つるは何羽ですか。

目の付けどころ&知っておくべきこと

  1. 最初から「式にしよう、式にしよう」と思わないこと。
    • 「つるの頭数とかめの頭数の比が3:1の」という日本語から
      • つるの頭数とかめの頭数の比が3:1に限定された
      • ということは、一番頭数が少ないとすれば、つるの頭数が3羽、かめの頭数が1匹で、その時の足の本数は3×2+1×4=10[本]
      • 頭数がもっと多いとすると、
        つるの頭数が6羽、かめの頭数が2匹で、その時の足の本数は10×2=20[本]
        つるの頭数が9羽、かめの頭数が3匹で、その時の足の本数は10×3=30[本]
        つるの頭数が12羽、かめの頭数が4匹で、その時の足の本数は10×4=40[本]
        ここまでで合計の頭数が16になっているので、これ以上の取り合わせはあり得ない!
    • なーんだ!いちいち確かめるにしても、この3つの中のどれかが、いやいや最後の候補は16頭で足が40本だから見ただけで問題とくいちがうから、最初の2つの内どちらかが正解ということが明らかだね。
  2. 答は簡単に出るけれど、さてさて、これをどうやって表現するか?
    • 君が考えたことは、言い換えると、
      「つるの頭数が3羽、かめの頭数が1匹で、その時の足の本数は3×2+1×4=10[本]」を1つのかたまりとみなしたということ
    • すなわち、「4頭で足が10本あるかたまり」なんだね。
      これをどう表現していくのか?が問題だけれども、次のような表現が考えられる

      1. 「つるの頭数が3羽、かめの頭数が1匹」のセットを「つるかめセット」と名付けよう。
        この「つるかめセット」の足の数は10本である。
        もし、16頭全部が「つるかめセット」であったとすれば、足の数は16÷4×10=40[本]・・・
        と「つるかめセット」とかぶと虫の2つについてつるかめ算をしていけばいいわけだ。
      2. 「つるの頭数が3羽、かめの頭数が1匹」のセットと考えると、このセットの足の数は10本である。
        これを、1頭当たり足を2.5本持つ新種生物「ツールカーメ」を考える。
        もし、16頭全部が「ツールカーメ」であったとすれば、足の数は16×2.5=40[本]・・・
        と「ツールカーメ」とかぶと虫の2つについてつるかめ算をしていけばいいわけだ。
        ただし、「ツールカーメ」は4頭でしか生息できないということを忘れずにね…

小問2も「かぶと虫の頭数がとき」にヒントがありますよ。

当然、つるかめ算では「全部がかぶと虫だったとすれば」と最も多いと仮定して出発するよね!

そして、実際に多過ぎる足の数をピッタリと実際の足の数に合うまで、つるやかめと置き換えることによって、頭数をへらしていくわけだ。

もっとも減らす頭数を少なくしたいのであれば、つるとかめのどちらと置き換えればいいかって話だよ。

購入者のみんなは、【帝都中学への算数:vol3.つるかめイチロー算と面積図のワナ!】にも目を通しておいてくださいね。

発刊10周年記念

発刊10周年記念 / お申し込みはこちら

  • 受付時間:24時間年中無休

「帝都大学へのビジョン」は「バイブル」と頼られて10年。

受験合格に留まらない一生モノの栄養素が自分の未知の力を引き出す!

教材では、英数と算数の興味の引き金となり、且つ本質に目を向かせてしまうコアな問題を精選し、不器用レベルの脳細胞の働かせ方目線で解説。

京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような根拠のない、いい加減な甘言は書いていません。

発刊10周年記念 / お申し込みはこちら