整数直角三角形と複素数の不思議な関係

複素数

君は、

  • 直角を挟む2辺の長さが3と4の直角三角形の斜辺の長さが5であること
  • あるいは、

  • 3辺の長さが3,4,5である三角形は直角三角形であること

を知っているのではないでしょうか?

今日は、そんな直角三角形とは全く無縁そうで、誰も連想すらしないであろう複素数が、直角整数三角形を暴いてくれるというお話のさわりに関するイントロだけをご紹介しておきたいと思います。

誰にでも分かりやすく全部書いちゃうと、教育業者の誰かや小遣い稼ぎのライターに勝手に使われちゃう時代だから、イントロだけに留めておきます。

それでも、これを読んでいただいただけで、「虚数や複素数をこういうビューからも説明してもらったら、私も数学が好きになれたかも」と感じてもらえる方もおられるかもしれません。

さて、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形は無数にありますが、その中で斜辺も整数になる三角形の長さのセットを(3,4,5)以外で問われたら、なかなか思い浮かばないのではないでしょうか?

斜辺の長さで正解を挙げていきますと、5,13,17,25,29,37,41,53,・・・となります。
この8つの整数から、共通するものはないでしょうか?

ここまでは、小学生の君にでも気が付いてほしいところなのです…。

さて、「素数」と言いたいところですが、25が入っていますから正解とはなりません。
他に、すべてに成立する共通点があります。
「刑事の勘」ならぬ「野生の勘」を働かせて見つけてみて下さい。

素数の分裂?なんじゃそりゃ?

そこで、これらの数の中から素数だけ(25などの素数でないものを除外)ピックアップすると、素数ですから素因数分解はできませんが、複素数の概念を導入すれば、分裂させることができるという共通点があります。

そして、その分裂を起点にすれば、次々と整数直角三角形が作れます。

例えば、斜辺の長さが5である直角整数三角形を例にとると、斜辺の長さ5には、
\((2+i)(2-i)=4-i^2=5\)
というシンプルな分裂式に持ち込めます。

これが、『素数の分裂』なのです!!

そして、分裂の片割れ\((2+i)\)を2乗すると、
\((2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i\)
斜辺を5とする直角三角形の残り2辺の長さ3,4が現れます!!

もう一方の分裂の片割れ\((2-i)\)を2乗しても、符号は変わりますが、3,4が現れることに変わりはありません。

5を素数分裂させたら\((2+i)(2-i)\) → その片割れを2乗したら3と4が \((3±4i)\) という形で現れた!

続いて、その\((3+4i)\)を2乗してみましょうか!?
\((3+4i)^2=9+24i+16i^2=-7+24i\)

前式の経緯を考えますと、直角を挟む2辺の長さが7と24の直角三角形が連想されますね。
実際に、この直角三角形の斜辺の長さはどうでしょうか?

結果は25です。
そして、25を素数分裂させたら5×5であると同時に \((3+4i)(3-4i)\) ・・・、不思議ですね!

興味が湧けば、\((3+4i)\)を続いて、3乗,4乗,・・と検証してみてください。
何だか面白い結果が出てきますよね。

さらに、例えば、斜辺の長さが13である直角整数三角形を想定して、同じように13を分裂させてみてはどうでしょうか?
そして、同じように考えていけば、すべての辺の長さが出てきたのではないですか?
高校2年生ならできるはずなのですが…。

嫌われ者の虚数も、どうやら途方もなく世界に広がりを持たせてくれている陰の立役者であることの一番シンプルな例でしょうか!

この後の続きは、会員限定での資料とする予定です。
お楽しみにお待ちください。
いやいや、あなたが資料化してくださってもいいのですよ!

いやいや、むしろあなたが、この解説をチラシの裏にでも書いて、じっくり「ホンマかいな?」となぞり書きして、ここから先を考えようとしてくれることを期待して書いています。
もし、そんなあなたが沢山現れたら、日本もまだまだ安泰でいられるかもしれませんから…。

最後にヒントを

「チラシの裏に書けって言われても、何を書くんだよ~?」って君には、次のヒントを与えておきましょう。

  • 複素平面(ガウス平面)に\((2+i)\) の点を打って、原点と直線で結んでおきます。
  • ある複素数に\(+i\) を掛けるということは+90°回転ワープすることであり、\(-i\) を掛けるということは-90°回転ワープすることだと考えてください。
  • 共役同士の掛け算、\((2+i)(2-i)\)は、 \((2+i)\) を単に2倍したものと、\(-i\)倍したものを足し合わせたものです。
  • 同じ複素数同士の掛け算、\((2+i)(2+i)\)は、 \((2+i)\) を単に2倍したものと、\(i\)倍したものを足し合わせたものです。
  • 掛け算や足し算は、普通の座標系やベクトル系と同じように考えることができます。

これを、チラシの裏に書いてみれば、この原理が実に当たり前のことであることが分かります。

そして、君が思いつく数のペア\((a+bi)\)に、この原理を適用すれば、その度に整数直角三角形が出来ちゃうことを体験することができます。

原理が分かれば、次は整数直角三角形が成立しうる辺の長さのルールを数字と日本語で説明できることになります。

とかくこの世は学びにくい | 成績を上げるために必須なこと

最後に、とある臨床医さんの言と、学部は同じも学科は違う我がかなり後輩(京大情報工学OB)が教育関係の論議で発言した言を併せてご紹介しておきましょう。

ところが、それら原因をいちいち正確に調べもせずに、バカのひとつ覚えのように、どこの※※※科医も、「※生検!※生検!※生検!」と、患者さんに頭ごなしにゴリ押しするのです。

いくら教科書や※※※学会で教わったことがないからと言って、臨床経験を積めば、おかしい?と思う筈です。

文献的な情報の受け売りばかりだけで、自分達の頭を使って考えることがなくなっているのが現状です。


たかが盲腸の診断すらできなくなっている医者が蔓延る世の中で、10人専門家がいれば8人はやぶだといっていいでしょう。
まして、ネット情報に至っては9人はやぶでしょう。

それぞれの周囲を見渡せば本当のプロといえる人はごく一握りだと誰もが知っているはずです。

その中で生活上の問題を切り抜けていくには、俗流社会学や俗流心理学・俗流分子生物学・俗流脳科学・俗流AIなんぞをこねくり回して遊ぶのでなく、知識、感性を自分の責任で磨いて対応するしかないですよね。

世間的には、お賢い人がなれると思われている医学の世界ですら、当事者や見る人が見れば、現実はこんなものです。(私たちの時代には理工学部の方が理系最高得点の年は当たり前でした。)

さらに、脳科学やAI(人工知能)がカッコいいなんて思っていたら大きな間違いです。
8割がたは商売人や似非科学者(特に文系出身)の漁夫の利狙いの口車ですから…。
ちなみに、私たちの専門では、「俗流電気工学」も「俗流機械工学」もありません。
詐欺師が口を挟む余地など微塵もないからです。

あなたの最寄りで、真に信頼できるお医者さんを探せれば、それは非常に幸運なことですが、まぁ十中八九、紋切り型の決まり文句で対処されるケースがほとんどですね。

我が家は、端からダメそうな医者には行きませんが、幸いにも耳鼻咽喉科と歯科、眼科、内科、整形外科では素晴らしい医師を探し当てましたが、皮膚科だけは見つかりませんでした。
しかし、眼科と整形外科では、先生が倒れられて後に引き継いだ後は全くダメという現実です。

やぶでも「係っているいることへの安心感」が大きいですし、大したこともないのに診療を受ける方も多いですから、多くの場合、特に問題はないことでしょう。

「そんな程度で来るのかよ!」と言いたくなるような初診もよく目にし、耳にしますけど、これだから医者や医薬会社は儲かるんですね!(町医者やそれなりに定評のある公立病院の医師でも、まともなプロと言える医者は、やっぱり2割程度でしょう。)

それはそれで仕方ないとしても、医者の診断は何の落ち度もないように見えますが、ことと場合によっては大いに患者を不利益に導いてしまうケースは確実に生じますし、これを経験された方も多いのではないでしょうか?

ましてや、生命には関わらない教育の世界では、指導者がやぶである確率など、さらに高いことは火を見るよりも明らかですね。

だって、先生はもちろん、塾講師だって日和見してても何の食いっぱぐれもないのですから…。

あなた(お子さん)の成績が上がるための条件は、そもそも真面目にやる気持ちがない場合を除いて、

  • あなた(お子さん)が、適切で効率的な勉強の仕方の流儀を我がものとする
  • あなた(お子さん)が、それぞれの教科の実際の学習内容に関して、自分を心底より納得させる術を会得する

という2点を、自力あるいは第三者のサポートを得て確立するということ以外にはあり得ません。

ところが、そんなところは突いてくれないのが現実社会です。
準備された模範解答を恭しくご教示して、「俺のようになるんだぞ!」というスタンスが大多数です。
単にパターンを覚えているだけの指導者には、こういう本音の言葉が見え見えです。

準備出来ない環境で教えろと言われたら、どれだけの指導者が慌てふためくことでしょうか?

こういう状況では、8割方はいつまでたってもお子さんの学力など伸びるはずはありません。

どんな問題でも、ことによっては、他人をあてにすることほど実の無いことはないのは確かですから、「やぶでも安心できればそれでいい」という場合を除けば、自分の流儀を曲がりなりにも自力で確立すべく努めることを優先されるべきでしょう。

自分の軸さえ持てれば、たとえ環境に恵まれなかったとしても、浮草のようにフラフラと漂うことだけはありません。

2019年11月1日より完成度極致のVer.2020へ!

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「帝都大学へのビジョン」は「バイブル」と頼られて10年。

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京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員物理系ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような、実社会で何もできなかった無責任で底の浅い騙し専門の著者やパッチワーク著者とは良心も実用性もレベルが違います。

保護者目線で見ると、ある意味、反抗期に入るまでの子育てへの思いと計画性とその質が子どもの未来を決める分水嶺です。
中学に入ってからは、保護者は基本的になす術を持ち得ません。

当人の目線で見ると、勉強法の違いでこれだけ差がつくということを分からないまま一生を過ごすか、どこかで気がついて、自分の人生の軌道を修正するかの違いであって、それをまさに旬である中高生時代にできてしまえば、下世話な現実話ですが、学歴もそこそこ備わるだけでなく、それなりに充実した職業にも就ける可能性を大きくするというだけの話です。