青山学院中学過去入試問題より・・・意地悪な人口密度

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関東の学校事情には不案内ですが、なるほど算数には定評のある青山学院中学の「解けそうで解けない」問題は健在のようです。

悪く言えば「いけずな」・「意地悪な」、よく言えば「洗練された」問題と言えるでしょうか?

その上、基本問題は取りこぼすことなく、しかもチャッチャカチャッチャカ処理していかなければ時間が足りなくなりますから、小学生には荷が重いと思われる構成になっています。

そんな、算数には定評のある青山学院中学の過去入試問題から(結構古いですが、算数や数学の問題に古いも新しいもありません)


算数の基本を鍛える問題(3)

【問題】

1Km2当たりの人口密度がちょうど36人のA村から、1人当たりの面積が25000m2のB村へ80人移ったので、A村の人口は1000人になり、B村の人口密度は1Km2当たりちょうど44人になりました。
A村とB村を合わせた人口密度は1Km2当たり(  )人です。

目の付けどころ&知っておくべきこと

手取り足取りの解説を見て、いつも「ふーん!」で終わっているのなら、その前に、何をしていけば解決するだろうかということを考える訓練を必ずしてくださいね。

その一環として、例えば下に書いたような「目の付けどころ&知っておくべきこと」を一つずつ「ホンマかいな?」と疑いながら確かめてみてください。
そのことが君の実力を付けていくことになります。

  1. 算数が苦手な子は、①意味を全く考えない、考えられないか、②単位を合わせることに全く意識がないかのいずれかです。
    • 人口密度=1Km2当たりの人口=人口/面積
    • ところが、B村に関しては1人当たりの面積が与えられています。
    • 1人当たりの面積=面積/人口であることをしっかり意識しなければなりません。
      言葉が違えば意味は違ってくることを肝に銘じてください。
    • そして、「1Km2当たりの人口」と「1人当たりの面積」とは割り算において逆の関係にあることをしっかりと掴んでください。
      すなわち、分母と分子が入れ替わる関係ですね。
    • さて、さらにA村の面積は[Km2]という表し方、B村の面積は[m2]という表し方ですから、どちらかに統一しなくてはややこしくなります。
    • 1[Km2]=1000[m]×1000[m]=1000000[m2]と捨て書きしておきましょう。
    • 最終的には、「A村とB村を合わせた人口密度は1Km2当たり(  )人」を求めなければなりませんから、[Km2]で統一しておくことが賢いやり方と判断できます。
    • 1人当たりの面積が25000m2 → 面積が1[Km2]=1000[m]×1000[m]=1000000[m2]であれば何人?
      これが(B村の最初の)人口密度になります。
  2. 式をたてて整理しておきましょう。
    • 最初の人口密度=元の人口/面積 → 人が移って来た後の人口密度=(元の人口+80人)/面積
    • 80人を面積で割った値だけ人口密度は増えたということを納得するまで理解しましょう!

もう一つ、本年2018年の問題から1題ご紹介しておきましょう。

【問題】

花子さんは,いくつかのテストを受けたところ,全教科の平均点は72 点で,算数以外の教科の平均点は全教科の平均点より1.75 点低く,国語以外の教科の平均点は全教科の平均点より1.25 点高くなりました。
国語と算数の点数の差が24 点のとき,算数は(  )点です。

考えるヒント

問題文では、「全教科の平均点」「算数以外の教科の平均点」「国語以外の教科の平均点」が書かれています。

そして、最後に「国語と算数の点数の差が24 点のとき」と条件が付けられます。

解答例(市販でもネット解説でも結構です)を見てからでもいいですから、この言葉から「差」という言葉が大きなヒントになっていることを教訓として学び取ってくださいね。

そういうことこそが、目の付けどころを広げ、実力を付けるための根っこで大切なことなんです。
同じ問題なんて出ないのですから…。

その上で、「平均点とは?」という原点をしっかりと式で表しましょう。
なにも記号を使う必要はサラサラありません。日本語で構いません。

【平均点=・・・】という形でもできますし、【得点合計=・・・】の形でも表せますね。

どちらにせよ書いてみることさえすれば、どちらの式が君には扱いやすいのか、次に何をすればベストなのかということが見えてきます。

そして、ここから式を見比べながら処理していくプロセスは、ある意味、今後の数学を考えていく上での必須回路の一つとなります。
すなわち、考える上でのお決まりの候補の一つになります。

「なるほど~!」と自分ながら唸るほどに、日本語でプロセスを説明してみてください。

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京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような根拠のない、いい加減な甘言は書いていません。

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