高校数学 9月度後半実力テスト:偏差値60以上を目指すバロメータ

高校2年生の夏休みを終えた頃には、ある程度こなせるようにしたいレベルです。

解答例を与えると「そうかぁ」で終わってしまう子が多いのでご提供はしませんが、考えたプロセスを提示の上で答を知りたい諸君にはお教えします。

ALLコースご購入者様には、ブログでの閲覧以外に、購入者専用ページにて問題用紙及び1問1枚の問題・解答用紙をPDFファイルとしてご用意しております。
また、有料となりますが1セット単位で添削もご依頼いただけます。

基本的にMARCH以上を目指す受験生のバロメータとなるような、避けては通れない基本を鍛えるレベルの問題(易しくもなく難問でもない)となっています。

問題を見て、方針が立つかどうかのチェックとしてお使いいただくことで相当な実力が付くこと請け合いですので、一つの賢い使い方としてご利用ください。

もちろん、読んだだけで方針が立つケースから、問題を整理しながら書き出して方針が立つものまでケースバイケースですが、「あぁ、ほとんどの問題に道筋は付けられそう!」と思えるようであれば、偏差値65以上の難関大学に合格する可能性も大いに期待できます。

高校数学 今日の実力テスト9月度後半第1問

実力テスト9月度後半第1問

「こうだったらいいのにな!」の願いをそのまま自然に書き進めて、辻褄を合せることで出来る典型問題。

「どういうことか?」って?

「P=a⁴+2a²b²+b⁴だったらよかったのに」って思わないかい?

もし思わなかったのなら、「P=a²+ab+b²」と書いてあったらどうだい?

「P=a²+2ab+b²だったら僕でも因数分解できるのに」って思うのではないかな?

そう思ったら、自分の都合のいい式を書いてやって、現実と食い違うところの辻褄を合わせてやれぃ!

後者の例だったとすれば、「P=a²+2ab+b²-ab」ってしてやればいいんだよ!

「それがどうした?」って思うかもしれないけれど、問題によっては大いにこの作業が功を奏するんだよ!

例えば、a+bとabの値が与えられたとすると、「P=a²+ab+b²」のままでは手も足も出ないけれど、「こうだったらいいのにな!」の形にして辻褄を合わせたなら、ほら簡単に値が出る!

前者の例だったら、もっとダイレクトにそのメリットが見えるよ!
「P=a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²」となるから、「(a²+b²)²-(ab)²」になっちゃって、もうホクホクだよね!

さて、(1)で出て来た因数分解の形が、(2)を解くヒントになってるであろうことはいつものことだよね!

(2)の式が2重根号になっていることと、問題の与式自体が4乗で与えられていることが、何となく関係がありそうだよ!

さて、2重根号はそのままだと、如何ともしがたいから、2乗して1つの根号を外しちゃうしか手がないよね!

あとは、数式を暗記する記号としてではなく、次の行の日本語を理解できるように、参考書でも見直してみてください。

a+b と a-b が与えられれば、a×b はそれぞれの値を求めることなく値が求まりますが、それは何故?

変幻自在に式を操るための最も基本で最も頻出の典型問題です。

オール会員の諸君は【因数の頭に解宿る】の該当部分を、この際に再度、噛みしめておきましょう。

高校数学 今日の実力テスト9月度後半第2問

実力テスト9月度後半第2問

まず、図を描いてイメージを作らないことには始まらないことは誰もが思いますよね。

そこで、フリーハンドでも正方形と直線ですから、ある程度「らしく」、例えばでPとQの位置を適当に決めた図を2種類ほど描けば、定点がどの辺りにありそうかは目星がついて来ます。

どうやら、正方形の外側にあって、BCの延長線上に近そう!

ただ、その定点がどこなのかを正確に答えてやらねば答になりませんから、必然的に「座標で考えるしかないか!」となります。

正方形を座標のどこに配置するかは君の勝手ですが、変なところに配置すると計算がややこしくなることは苦い経験から十分にご存知のことでしょう。

さて、基本的に直線しか出て来ないといっても、一番計算が楽になるようにx-y座標を取ってやりましょう。

普通は、正方形の左辺をABとしてy軸に、下辺をBCとしてy軸に合わせるのではないでしょうか?

そして、正方形の1辺の長さを適当な記号、例えばaとしておいてやれば、ACは直線の方程式y=-x+aで表せちゃいます。

ここからは、PとQの座標を決めてやれば、PからAQに下ろした垂線の足の方程式も表現できますね。

ところが、ちょっと数学が苦手な子はP,Qの座標をどうとっていいのか分からないのですね。

「任意にとる」ということがなかなか表現できないようです。

まぁ、心情的には「どこでもいい」と言われると戸惑ってしまうのは大に頷けるのですがね…。

下手をすれば、全く新しい記号を持ってきて、P(0,m)、Q(n,0)なんてしちゃって、そこから一歩も進まないなんてことも…。

両端が決まっていて、その間の任意の点は、両端の記号を使って表せるってことを、しっかり叩き込んでくださいね。

これは、ベクトルを扱うときにも、常時使うことですから、今しっかり頭に入れておいて下さいよ!

原点O(0,0)とC(a,0)の間にあるすべての任意の点Qは「(ta,0):但し、0<t<1」で表せるってことをね。

オール会員の諸君は【知っ得で知っ解く二次関数】の「一次関数を確定する脳細胞」も見直しておいてね!

x軸上の1点とy軸上の1点が確定している直線の方程式を一発で表す式があることも理解しておくと、一味違うセンスの持ち主になれますからね。

高校数学 今日の実力テスト9月度後半第3問

実力テスト9月度後半第3問

まず、集合に関する表現に慣れることが必要なんですね。

【a∊S】は「aはSに属する」と読めば十分ですし、ちょっと洒落て英語で呼びたいなら”a belong to S”でいいと思いますよ。

(1)で言っていることは、|a|<1で、且つ、|b|<1のとき、a*bなる演算の絶対値も1より小さいことを証明せよということに過ぎません。

別に集合の記号を使わなくても普通の問題にできますが、教養のためとでもいいましょうか、表現に慣れておかないと、集合としては様々な形でどこかで出題されますからね。

【絶対値が1より小さい=2乗した数はさらに1より小さい】【2数の大小は2数の差が正か負かで判断】

この結びつきと鉄則さえ肝に銘じていれば、あとは定義通りにコツコツ計算ですね。

(3)は(1)の問題と入れ子のような構造になっていることに気付いてほしいんですね。

すなわち、(1)の結果を「Sの元と別のSの元に*の演算を施せば、やっぱりSの元」と日本語に言い替えておくと気が付いちゃって、言葉で説明するだけで済んじゃうってわけです。

日本語で意味を表現しておくってことの大切さが分かってもらえたらものすご~く嬉しいんですけれど…。

高校数学 今日の実力テスト9月度後半第4問

実力テスト9月度後半第4問

二次関数の基本的概念を押さえていれば、問題を読んだだけで、すべきことは見えてきます。

全体としては、整数という条件に制約された「不定方程式」になりそうだと予測できれば大したもの!

「不定方程式」っていうのは、未知の数に対して方程式の数が不足していて、解が定まらない方程式のこと。

こういう場合にも、本問のように整数であるという条件や約数・倍数に関する制約が付けられた場合に、一つとは限らないけれど解が確定する場合があるということです。

(1)では「割った余り」が条件として提示されているので、因数定理は関係なさそうだね。

となれば、素直に割ってやって、出て来た余りが<0としてやりゃいい!

とはいっても、この問題を見て因数定理を想起できるようにはしておきたいし、「あっ、使えねぇ」ていう思考回路ができればベストかな。

(2)では、「三角形の面積」ではなく「三辺の平方の和」であるので、少し煩わしそうですね。

とりあえず、放物線がx軸と交わる点と頂点の関係を図で頭に思い浮かべてみてほしいんだ。

君は、三角形ABCは二等辺三角形だと見抜けただろうか?

教科書や参考書でこんな言葉で説明されることはないけれど、放物線におけるこのシチュエーションでの三角形ABCはいつだって二等辺三角形になっている!

さて、お次は、AとBのx座標は「2次方程式 x²+2mx+n=0」の解そのものだから、例えば、これをα,βとしておくと、ABの長さの平方は(α-β)²

二次方程式における解αとβには、決まった関係があることを君は知っているはずだと前提すれば、次にやることは自ずと決まってくるというわけさ!

会員の諸君には耳タコかもしれないけれど、簡単なのにほとんどの子ができない変幻自在の式の変形の使いどころが待っているはずだよ。

オール会員の諸君は【知っ得で知っ解く二次関数】と【因数の頭に解宿る】の該当部分をしっかりと見直して体に刻み込んでおいてね!

高校数学 今日の実力テスト9月度後半第5問

実力テスト9月度後半第5問

見ただけで三角関数の問題であることは一目瞭然・・・ですね。

一般的に、「どんな三角形か?」を問われる場合は、辺なら辺、角なら角に統一して考えていくのがセオリーです。

三角形の辺と角の間の関係を表すのが正弦定理と余弦定理であることまではお分かりですね?

一般的に、「どんな三角形か?」は通常、辺に統一した方がやりやすいですし、「・・・を証明せよ」は通常、角に統一した方が道が開けやすいということも頭に入れておくといいですよ。

とはいっても、これを覚えておいたからといって頑なに守ろうとすると道が開けないこともありますから、あくまで方針を立てる一つのセオリー的な参考として捉えておいてくださいね。

オール会員の諸君は三角関数が苦手なら、一挙でなくてもいいですから、【はじめの一歩 三角関数】をしみじみと理解できるまで見直しておいてください!

三角間数にはたくさん公式がありますが、「加法定理」さえしっかり理解し、そこから展開できることさえ知っていれば、恐れるほどのものではないことが分かると思います。

本問題は、余弦定理と正弦定理の両方から「どんな三角形か」を導き出してみてください。

多くの生徒は余弦定理からアプローチすると思うのですが、それでできたからといって終わるのではなく、「では正弦定理からではできないだろうか?」ということを考える(別の方法を考える)ことで、実力の付き方に断然厚みが増してきます。

高校数学 今日の実力テスト9月度後半第6問

実力テスト9月度後半第6問

対数と絶対値の問題ですね。

絶対値と来れば場合分け、対数と来ればlogAのAが1を境目に正負が逆転だから、その辺に何かありそうですよね。

対数が嫌いな諸君には難しそうに見えるけれど、logの四則演算をしっかり身に着けていればどうってことないよ!

どんな真実も小さな当たり前が積み重なっているだけなんです!

式を見れば、すぐに次のように変形できることを頭に浮かべなければ始まりません。

\begin{align}
\log 2 \sqrt{ x } = \log2 + log \sqrt{ x }
\end{align}

ということは、\(log \sqrt{ x }\) が0より大きければ、当然、\(\log 2 \sqrt{ x }\) も0より大きくなりますから、
この場合は2つの絶対値はそのまま外すことができます。

\(\log2 + log \sqrt{ x } > \log 2 \sqrt{ x } > 0\)になりますからね・・・。

この後、どのように場合分けしていくのかは、もう分かりますよね。

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京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような根拠のない、いい加減な甘言は書いていません。

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