【帝都大学へのビジョン】ご活用の皆さんには医学部志望の受験生が多いようです。
そこで、医大・理系の入試問題も加えて着眼点を記していきたいと思います。
時には『ポリア風』に、時には『点と線のメモ書き風』に・・・。

詳しく解説しているとキリがありませんので、問題は解かないで着眼点だけメモしておく形で進めます。
尚、web上では、数式は基本的にテキストベースで書かせてもらいます。

2013年 東京医科歯科大学数学第2問


さて、行列の問題であることは一目瞭然だよね。

0) 準備

(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)の条件から言えることを、日本語としてあるいはイメージとして理解することが大切。
単に、記号が並んだ式としてだけ見てちゃダメ!

(ⅰ)はそのままの意味。
(ⅱ)は?

b+c=0 だからc=-b だよね。
だから、ここは2次正方行列において、
『cのポジションにはbと符合反対で同じ大きさの整数が入るんだ』って風に理解しておくわけね。

(ⅲ)は(ⅱ)でcを-bで置き換えたことで、d=a-bとdをbとdで置き換えるのが妥当。

で、『dのポジションは1行目の左-右、即ち、a-bが入るんだ』って理解になる。

1)

ここまでの理解通りに、2つの2次正方行列を、それぞれ2つの文字を使って表して掛け算をすれば、3つの条件が満足されることが、そのまんま 証明できるはず。
じゃないと問題にならない。

2)

逆行列は公式ですぐに出るよね。
但し、逆行列が存在する条件をきちんと検証しておかねば・・・。
 
0)で準備したように、最初から行列Aをaとbの2文字にして進めていくと、式も少なくて効率的なはず。
 

3)

3つの条件と2)で出てきた条件ad-bc=1 を加えればよし。
2)において、3つの条件は行列を2文字で表現することでクリアーされたから、ad-bc=1は2文字で表現されたはず。
この2文字での条件が、それぞれ整数であるという条件から、値が限定されてくるということだな。

4)

ケーリー・ハミルトン?
その前に、しっかり理解しておかないと意味不明になるぜ。
こんなときは、やっぱりnを小さい数から順に確認していくことが賢明だね。

【具体から抽象へ】だ!

Snの要素の個数とは?
  A=Eを満たすような行列Aの全体の集合がS1・・・①
  A2=Eを満たすような行列Aの全体の集合がS2 ・・・②
  A3=Eを満たすような行列Aの全体の集合がS3 ・・・③
 ・・・

①はどう考えても1個しかないよね。
A=Eを満たすような行列 はEしかありゃしない。
要素の数はこれだけの1個

②は、①のA=Eが要素として含まれる。
A2=AAだから、1)によりA2は集合Mの要素
AA-1=EだからA=A-1を満足する行列(A=Eを除く)がA2=Eの要素となる。

③は、①のA=Eが要素として含まれる。
A3=AA2だから、1)によりA3は集合Mの要素
AA-1=EだからA2=A-1を満足する行列(A=Eを除く)がA3=Eの要素となる。

何となく分かってきた。

a)行列Aが集合Mの要素である限り、Anは集合Mの要素であること

b)An=AAn-1=E ⇒ An-1がAの逆行列であること

以上2点により、

3)で求めた行列の中から、n乗して単位行列になる要素が3個だけあるようなnを求めよという問題になってくる。

3)までは基礎がしっかり出来ていればできそうだけれども、4)はなかなか本質が見抜きにくい問題だろうね。
このあと、解答をまとめるにも、表現力も必要でなかなか難しそうだ。

ケーリー・ハミルトンを使うかどうかは書き進めてみないと見えないな。

健闘を祈る!!

■関連資料

帝都大学への数学vol.10 徹底理解!高校数学の「行列」

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とかくこの世は学びにくい | 成績を上げるために必須なこと

最初に、とある臨床医さんと学部は違いますが我が後輩(京大情報工学OB)が教育関係の論議で発言した言を併せてご紹介しておきましょう。

ところが、それら原因をいちいち正確に調べもせずに、バカのひとつ覚えのように、どこの※※※科医も、「※生検!※生検!※生検!」と、患者さんに頭ごなしにゴリ押しするのです。

いくら教科書や※※※学会で教わったことがないからと言って、臨床経験を積めば、おかしい?と思う筈です。

文献的な情報の受け売りばかりだけで、自分達の頭を使って考えることがなくなっているのが現状です。


たかが盲腸の診断すらできなくなっている医者が蔓延る世の中で、10人専門家がいれば8人はやぶだといっていいでしょう。
まして、ネット情報に至っては9人はやぶでしょう。

それぞれの周囲を見渡せば本当のプロといえる人はごく一握りだと誰もが知っているはずです。

その中で生活上の問題を切り抜けていくには、俗流社会学や俗流心理学・俗流分子生物学・俗流脳科学・俗流AIなんぞをこねくり回して遊ぶのでなく、知識、感性を自分の責任で磨いて対応するしかないですよね。

世間的には、お賢い人がなれると思われている医学の世界ですら、当事者や見る人が見れば、現実はこんなものです。

あなたの最寄りで、真に信頼できるお医者さんを探せれば、それは非常に幸運なことですが、まぁ十中八九、紋切り型の決まり文句で対処されるケースがほとんどですね。

「やぶでも係っているいることへの安心感」が大きいですから、多くの場合は特に問題はありません。

それ自体は何の落ち度もないように見えますが、ことと場合によっては大いに患者を不利益に導いてしまうケースは確実に生じますし、これを経験された方も多いのではないでしょうか?

ましてや、生命には関わらない教育の世界では、指導者がやぶである確率など、さらに高いことは目に見えています。

お子さんの成績が上がるための条件は、そもそも真面目にやる気持ちがない場合を除いては、

  • お子さんが、適切で効率的な勉強の仕方の流儀を我がものとする
  • お子さんが、それぞれの教科の実際の学習内容に関して、自分を心底より納得させる術を会得する

という2点を、自力あるいは第三者のサポートを得て確立するということ以外にはあり得ません。

ところが、そんなところは突いてくれないのが現実社会です。
準備された模範解答を恭しくご教示して、「俺のようになれるだろ?」というスタンスが大多数です。

準備出来ない環境で教えろと言われたら、どれだけの指導者が慌てふためくことでしょうか?

こういう状況では、8割方はいつまでたってもお子さんの学力など伸びるはずはありません。

どんな問題でも、ことによっては、他人をあてにすることほど実の無いことはないのは確かですから、「やぶでも安心できればそれでいい」という場合を除けば、自分の流儀を曲がりなりにも自力で確立すべく努めることを優先されるべきでしょう。

11月1日より完成度極致のVer.2020へ!

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京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員物理系ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような、実社会で何もできなかった無責任で底の浅い騙し専門の著者とは良心も実用性もレベルが違います。

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