塾へ行くのが嫌で通塾していなかったのに、いつも成績はクラスでトップの子を指導した際の残存資料より、下記の『場合の数』5題を通して、そのポイントやコツを掴んでいただければと思います。

そんな彼も、結局は、FAX方式にプラスして当方の事務所まで来ちゃうようになってしまいましたので、結果的に「通塾」になってしまいましたが…。(笑)

彼のために執筆したのが、【数学脳への導火線 05-丸竹夷二押御池~場合の数とは?】。

「丸竹夷二押御池」は京都の通りを覚えるためのわらべ歌のフレーズなんですが、それを『ヨ・タ・ヨ・タ』方式で歩くことで「場合の数」を指導したら、メッチャ受けました。

ALLコースの方のみ資料室でしか見れないので申し訳ないのですが…。

三色問題・四色問題

君たちの中には、『4色問題』という名前を聞いたことがある子もおられるかもしれませんね。

昔から有名な問題だったのですが、コンピュータ技術の目覚ましい発展によって、初めて解けたというほどの難問題だったんですね。

ちなみに、僕は、75年頃に電気工学科まで越境して『グラフ理論』の講義を受けたんですが、その時の教科書には「いまだに証明が与えられていない」となっていたんですよ。

この問題をすごく砕けた言い方で説明しておくと、

【例えば、世界地図において国境を明らかにするために、各国を色分けするとすれば4色で足りるだろうか?】

という問題なんですね。

国境を明らかにするための条件を含む条件は次のように定められます。

  • 隣り合う国は違う色を塗らなければならない
  • 但し、点だけで接する2つ以上の国は同じ色でも構わない
  • 海も一つの独立した国として色を塗る

なんだか、「そんなに難しいの?」と思ってしまうかもしれませんが、問題は「どんな地図であっても4色で足りるか?」ということを証明しなければならないところが難しいのですね。

『算数』とは違って『数学』になるわけです。

見ての通り、ここに出題した(1)の問題は、まず『3色問題』、そして『4色問題』を極めて小さい範囲で具体的に考えてみよう版の『算数』なんですね。

我ながら、なかなか良い問題を作っていますね(・・;)

問題①の解答・コメントにおいては、兵庫県と大阪府と京都府を3つの違った色、ア)・イ)・ウ)としてアプローチを進めているのですが、これが、「兵庫県と京都府と滋賀県で進めたらどうなるだろうか?」というアプローチとの違いを理解するところが大切なポイントになることを頭に置きながら、実際に経験してもらえれば『場合の数』に対するセンスやコツを一歩前進させてくれる筈ですよ。

基本的に、『場合の数』の問題はツリー図で整理するにしても、場合分けのモレがないように、一つずつ丁寧に書き出していく作業が全てと言っても過言ではありません。

むやみやたらに問題をこなすよりも、例えば、(1)~(4)の問題だけでも、自分が何故洩らしてしまったのか?を心に刻み込むことを怠らないことの方が大事です。

含まれる正方形・正三角形の数

トランプのカードの選び方

共集合の重複を考慮した集合の数

栄光学園中学入試問題より

解答とコメントは以下のPDFファイルをご覧ください。

こちらは、【本編ONLYコース】会員様にもご覧いただけます。

併せて、小学生の為に「場合の数」を分かりやすく説明した【数学脳への導火線 05-丸竹夷二押御池~場合の数とは?】(PDF14ページ)を指導にご利用いただければ、なお一層理解が進むことと思います。

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京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような根拠のない、いい加減な甘言は書いていません。

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