理工系へ進む君に捧げる方程式(3)シュレジンガー方程式

理工系に進もうとしていて、大学に入ってからどんな勉強をするのだろうかと思いを馳せているあなたに、自身のMathJax記述練習を兼ねて(PDFファイルや画像での提示だけじゃ切ない?ので)、少しずつ方程式の風景をお見せしていきたいと思います。

ただ、理工系と言っても裾野が広く、私たちの専門分野である機械・電気を中心として、物理学や量子力学、数学の興味深い方程式を付加できる程度ですので、進まれる学科によっては無縁のものがあることはご容赦ください。

今回の方程式は、2018年の締めに相応しく、あまりにお見事なシュレジンガーの(波動)方程式。

高校生の諸君の中には「シュレジンガーの猫」を知っておられ方も居られると思いますが、そのシュレジンガーです。

ここに書いた方程式は、最も一般的に表現される方程式です。

それでも難しそうに見えるのは、偏微分を含め微分にまつわる見知らぬ数学記号が入っているからであって、基本的にはニュートン力学の知識と光量子化説に対するアインシュタインの有名なエネルギー方程式\(E = h \nu\)さえ知っていれば導き出せる式です。

僕が大学に入って教養課程で勉強した力学がハミルトン力学でした。
しかし、その当時は、その意義が分からないまま「つまんねぇ」と思っていました。

ニュートン力学と何が違って、どういう意義があるのかを最初に言ってもらわないと、式の羅列を追っているだけではなかなか意義を見つけることはできませんよね。

シュレジンガー方程式は、見るからに、大学に入った後、微分を勉強するのが楽しみになるような、カッコいい式ではありませんか?

文系のあなたも含めて、リベラルアーツの心意気で、興味のある分野を自主的に勉強して頂ければ嬉しいです!

ネットは、一般的にはゴミの山ですが、こういった学問分野では非常に有益な資料が少なからず見られるようになりました。

まぁ、誰でもが書ける訳ではありませんし、いい加減なことを書ける分野でもありませんから、自然にそうなるのは頷けます。

総じて、民間から学者さんまでを含むたいそう優秀な方がまとめておられるようで、ひとえに執筆者には敬意を表する次第です。

量子力学の基本方程式

シュレジンガー(Schrodinger)方程式

粒子系における一般形

\begin{align}
i\hbar \frac{\partial \varPsi (x, t)}{\partial t} = H \varPsi(x, t)
\end{align}

\begin{align}
i\hbar \frac{\partial \varPsi (x, t)}{\partial t} = – \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \varPsi (x, t) + V(x, t) \varPsi(x, t)
\end{align}


シュレジンガー方程式

そもそも、物理は数学で自然の摂理を説明するものですから、全ての領域で多種多様の数学が必要とされますが、流体力学や熱力学・電磁気学など理工系の要となる物理を理解するにあたっては、ベクトル解析の理解が必須となります。

脅かすつもりは全くありませんが、その意味で、理工系は落っこちする学生も多く、医学部から転学部して来た人をして「医学部の方がよほど簡単だった」と後悔せしめることもあることは申し上げておきましょう。

【方程式→数学的な意味理解→イメージでの理解→日本語での再構成→物理的意味との関連付け】
といったプロセスを往ったり来たりしないと、なかなか真に分かるものではありません。

それでは、シュレジンガー方程式や量子力学をイメージとして理解に導いてくれる優れたサイトをご紹介しておきますね。

方程式の基本知識

\(\hbar(エッチ・バー)=換算プランク定数\)

\begin{align}
\hbar = \frac{ h }{2\pi}
\end{align}

プランク定数\(h\)とは、光子エネルギー\(\epsilon\)と振動数\(\nu\)との関係式

\begin{align}
\epsilon = h \nu
\end{align}

における比例定数

よって、\(h \nu = \hbar \omega\)の関係が成り立つ。(\(\omega\)は角速度)

\(H\)=Hamiltonian(ハミルトニアン作用素)

\begin{align}
H = \frac{p^2}{ 2m } + V(x,t) = – \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x, t)
\end{align}

\(p\):運動量
\(V\):ポテンシャル・エネルギー

\(\varPsi(x, t)\)=波動関数

ベクトル解析記号の基本知識

\(\nabla\)演算子=Nabla(ナブラ)演算子

\begin{align}
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)
\end{align}

\begin{align}
\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)
\end{align}

\(\Delta\)演算子=Laplace(ラプラス)演算子=Laplacian(ラプラシアン)

\begin{align}
\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}
\end{align}

\begin{align}
\Delta \varphi = \nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}
\end{align}

とかくこの世は学びにくい | 成績を上げるために必須なこと

最後に、とある臨床医さんの言と学部は違いますが我が後輩(京大情報工学OB)が教育関係の論議で発言した言を併せてご紹介しておきましょう。

ところが、それら原因をいちいち正確に調べもせずに、バカのひとつ覚えのように、どこの※※※科医も、「※生検!※生検!※生検!」と、患者さんに頭ごなしにゴリ押しするのです。

いくら教科書や※※※学会で教わったことがないからと言って、臨床経験を積めば、おかしい?と思う筈です。

文献的な情報の受け売りばかりだけで、自分達の頭を使って考えることがなくなっているのが現状です。


たかが盲腸の診断すらできなくなっている医者が蔓延る世の中で、10人専門家がいれば8人はやぶだといっていいでしょう。
まして、ネット情報に至っては9人はやぶでしょう。

それぞれの周囲を見渡せば本当のプロといえる人はごく一握りだと誰もが知っているはずです。

その中で生活上の問題を切り抜けていくには、俗流社会学や俗流心理学・俗流分子生物学・俗流脳科学・俗流AIなんぞをこねくり回して遊ぶのでなく、知識、感性を自分の責任で磨いて対応するしかないですよね。

世間的には、お賢い人がなれると思われている医学の世界ですら、当事者や見る人が見れば、現実はこんなものです。

あなたの最寄りで、真に信頼できるお医者さんを探せれば、それは非常に幸運なことですが、まぁ十中八九、紋切り型の決まり文句で対処されるケースがほとんどですね。

「やぶでも係っているいることへの安心感」が大きいですから、多くの場合は特に問題はありません。

それ自体は何の落ち度もないように見えますが、ことと場合によっては大いに患者を不利益に導いてしまうケースは確実に生じますし、これを経験された方も多いのではないでしょうか?

ましてや、生命には関わらない教育の世界では、指導者がやぶである確率など、さらに高いことは目に見えています。

お子さんの成績が上がるための条件は、そもそも真面目にやる気持ちがない場合を除いては、

  • あなた(お子さん)が、適切で効率的な勉強の仕方の流儀を我がものとする
  • あなた(お子さん)が、それぞれの教科の実際の学習内容に関して、自分を心底より納得させる術を会得する

という2点を、自力あるいは第三者のサポートを得て確立するということ以外にはあり得ません。

ところが、そんなところは突いてくれないのが現実社会です。
準備された模範解答を恭しくご教示して、「俺のようになれるだろ?」というスタンスが大多数です。

準備出来ない環境で教えろと言われたら、どれだけの指導者が慌てふためくことでしょうか?

こういう状況では、8割方はいつまでたってもお子さんの学力など伸びるはずはありません。

どんな問題でも、ことによっては、他人をあてにすることほど実の無いことはないのは確かですから、「やぶでも安心できればそれでいい」という場合を除けば、自分の流儀を曲がりなりにも自力で確立すべく努めることを優先されるべきでしょう。

自分の軸さえ持てれば、たとえ環境に恵まれなかったとしても、浮草のようにフラフラと漂うことだけはありません。

11月1日より完成度極致のVer.2020へ!

発刊10周年記念 / お申し込みはこちら

  • 受付時間:24時間年中無休

「帝都大学へのビジョン」は「バイブル」と頼られて10年。

頭の中にサラサラと流れる川を自力で作るために!

京都大学工学部OB2名と大阪大学大学院工学科OBの3名、しかも全員物理系ハードエンジニア出身(教師転身2名)で執筆していますから、商売人や学生上がりのような、実社会で何もできなかった無責任で底の浅い騙し専門の著者とは良心も実用性もレベルが違います。

ある意味、反抗期に入るまでに保護者が認識しているかどうかが、子どもの未来を決める分水嶺です。
中学に入ってからは、保護者は基本的になす術を持ち得ません。

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