理工系へ進む君に捧げる方程式(1)

理工系に進もうとしていて、大学に入ってからどんな勉強をするのだろうかと思いを馳せているあなたに、自身のMathJax記述練習を兼ねて(PDFファイルや画像での提示だけじゃ切ない?ので)、少しずつ方程式の風景をお見せしていきたいと思います。

ただ、理工系と言っても裾野が広く、私たちの専門分野である機械・電気を中心として、物理学や量子力学、数学の興味深い方程式を付加できる程度ですので、進まれる学科によっては無縁のものがあることはご容赦ください。

しかし、文系のあなたも含めて、リベラルアーツの心意気で、興味のある分野を自主的に勉強して頂ければ嬉しいです!

ネットは、一般的にはゴミの山ですが、こういった学問分野では非常に有益な資料が少なからず見られるようになりました。

まぁ、誰でもが書ける訳ではありませんし、いい加減なことを書ける分野でもありませんから、自然にそうなるのは頷けます。

総じて、民間から学者さんまでを含むたいそう優秀な方がまとめておられるようで、ひとえに執筆者には敬意を表する次第です。

流体力学の基本方程式

Navie-Stokesの運動方程式

非圧縮性流体における一般形

\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \nabla)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{K} – \frac{1}{\rho} \operatorname{grad}p + \nu \nabla^2 \boldsymbol{v}
\end{align}

Navie-Stokesの運動方程式

そもそも、物理は数学で自然の摂理を説明するものですから、全ての領域で多種多様の数学が必要とされますが、流体力学や熱力学・電磁気学など理工系の要となる物理を理解するにあたっては、ベクトル解析の理解が必須となります。

脅かすつもりは全くありませんが、その意味で、理工系は落っこちする学生も多く、医学部から転学部して来た人をして「医学部の方がよほど簡単だった」と後悔せしめることもあることは申し上げておきましょう。

【方程式→数学的な意味理解→イメージでの理解→日本語での再構成→物理的意味との関連付け】
といったプロセスを往ったり来たりしないと、なかなか真に分かるものではありません。

それでは、理工学理解の要となるベクトル解析をイメージとして理解に導いてくれる優れたサイトをご紹介しておきますね。

ベクトル解析記号の基本知識

\(\nabla\)演算子=Nabla(ナブラ)演算子

\begin{align}
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)
\end{align}

\begin{align}
\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)
\end{align}

\(\Delta\)演算子=Laplace(ラプラス)演算子=Laplacian(ラプラシアン)

\begin{align}
\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}
\end{align}

\begin{align}
\Delta \varphi = \nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}
\end{align}

\(\operatorname{grad}\)=勾配

\(\operatorname{div}\)=発散

\(\operatorname{rot}\)=回転

\begin{align}
\boldsymbol{v} = \operatorname{grad}\varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{grad}\varphi = \nabla \varphi
\end{align}

\(\nabla\)をスカラー\(\varphi\)に作用させると勾配(gradient)ベクトルとなる。

\begin{align}
\operatorname{div}\boldsymbol{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{div}\boldsymbol{V} = \nabla \cdot \boldsymbol{V}
\end{align}

\(\nabla\)をベクトル\(\boldsymbol{V}\)に内積作用させると発散(divergence)となる。
内積がスカラーであることは
高校数学で理解できている筈です。

\begin{align}
\operatorname{rot}\boldsymbol{V} = \left(\frac{\partial V_z}{\partial y} – \frac{\partial V_y}{\partial z}, \frac{\partial V_x}{\partial z} – \frac{\partial V_z}{\partial x}, \frac{\partial V_y}{\partial x} – \frac{\partial V_x}{\partial y}\right)
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{rot}\boldsymbol{V} = \nabla \times \boldsymbol{V}
\end{align}

\(\nabla\)をベクトル\(\boldsymbol{V}\)に外積作用させると回転(rotation)ベクトルとなる。
\(\operatorname{curl}\boldsymbol{V}\)と書かれる場合も多い。